Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема ([72]). Группа Шп(й„) классов (ориентированного) кобордизма замкнутых я-мерных многообразий изоморфна стабильной гомотопической группе Iim^njrk(Tcjk) пространств Тома
классифицирующих (ориентированных) векторных расслоений.
Здесь знак Iim означает следующее. Отображение Sn+k-+Tl>k надстраивается до отображения Sre+ft+1->r (|fe©l) сферы в пространство Тома суммы расслоения 'Etk и одномерного тривиального расслоения. Эта сумма может быть индуцирована из что
дает отображение Sn+k+1 -+Tttk^. По возникающей последовательности гомоморфизмов л,п+к (Tcjk) я„+й+1
(Tlk+l) и берется предел.
Эта теорема сводит вычисление групп кобордизмов к чисто гомотопической задаче, которую в значительной степени удается решить.
Теорема ([72]). 1) Кольцо = изоморфно кольцу
Z2[г/2, г/4» г/5,...І полиномов над Z2 от образующих уп степеней пф2г—\.
2) Кольцо Й. = ФЙ„ изоморфно по модулю кручения кольцу полиномов над Z с образующими степеней 4fe, k = = 1, 2,... .
2.5. Группы лежандровых кобордизмов как гомотопические группы. Сопоставим лежандровой иммерсии многообразия L в /1Rn тривиализацию комплексифицированного касательного расслоения TcL, как объяснено в примере п. 2.3.
Теорема ([47], [54]). Это отображение является взаимно однозначным соответствием между множеством классов гомотопных лежандровых иммерсий Lc-J1 Rk и множеством классов гомотопных тривиализаций расслоения TcL.
Отсюда, как и в теории кобордизмов гладких многообразий, выводится
Теорема (Я. М. Элиашберг, см. [69]). Группы классов лежандрова кобордизма изоморфны стабильным гомотопиче-
128" ским группам пространств Тома тавтологических расслоений над лагранжевыми грассманианами:
= limnn+h(Тки), Ln = 1ітл„+й(ГЯИ) •
Предельный переход соответствует последовательности вложений лагранжевых грассманианов, описанной в п. 1.4.
Аналогичное выражение групп кобордизмов через гомотопические группы (правда, более громоздких пространств) имеется и для других теорий лагранжевых и лежандровых кобордизмов", но эти гомотопические группы пока не вычислены.
Вычисление стабильных гомотопических групп пространств TKk приводит к следующему уточнению теоремы п. 2.2.
Теорема ([35]). Отображение 0:KL,->-S,, сопоставляющее классу кобордизма иммерсированного лежандрова многообразия класс неориентированного кобордизма этого многообразия, является вложением градуированных колец и S. = 0(KL.)© QZ2Iy2,..., У2к,..Л.
Следствие. Класс неориентированного лежандрова кобордизма лежандровой иммерсии Lc-Z1R" зависит только от многообразия L.
2.6. Группы лагранжевых кобордизмов. Эти группы, как правило, трудно обозримы. Вычислены лишь группы лагранжева кобордизма кривых на поверхностях [5]. Дело в том, что интеграл действия по замкнутой кривой на лагранжевом мно-гообразий-кобордизме зависит лишь от гомологического класса кривой на нем. Если интегралы действия по базису 1-циклов на лагранжево иммерсированном замкнутом многообразии L рационально независимы, то пространство #i(L, Q) вместе с определяемой классом когомологий формы действия линейной вещественнозначной функцией на нем является инвариантом класса лагранжева кобордизма многообразия L.
Лагранжева иммерсия LC-7'*R", наряду с отображением Гаусса L->An, задает отображение L-+K(R, 1) в пространство Эйленберга—Маклейна (S. EiIenberg—S. MacLane) аддитивной группы вещественных чисел (tti(/((R, 1)) =R, nfc(/((R, 1))=0 при кфі), определяемое гомоморфизмом фундаментальных групп fti(L)->#i(L, Q)->-R. Пусть Tn — пространство Тома расслоения над K(R, 1)ХА„+, индуцированного из тавтологического проекцией на второй сомножитель.
Теорема1'. Группа классов ориентированного лагранжева кобордизма в Г*Rn есть \mnn+k (Тк).
k-*-co
При п= 1 эта группа есть R©Z — единственными (и независимыми) инвариантами класса лагранжева кобордизма замкнутой кривой на симплектической плоскости являются ее индекс Маслова и площадь области, ограниченной кривой [5].
'> См. статью Я. М. Элиашберга в [69].
9—2538
129 § 3. Характеристические числа
Здесь описаны дискретные инварианты класса лагранжева (лежандрова) кобордизма. Они возникают из когомологических классов лагранжевых грассманианов, но получают геометрическую интерпретацию при исчислении лагранжевых и лежандро-вых особенностей. Это обстоятельство проливает свет на алгебраическую природу классификации критических точек функций.
3.1. Характеристические классы векторных расслоений. При
индуцировании векторного расслоения отображением базы в классифицирующее пространство класс когомологий классифицирующего пространства' определяет класс когомологий базы, называемый характеристическим классом расслоения. Исходный класс когомологий классифицирующего пространства называется универсальным характеристическим классом. Если двум расслоениям одинаковой размерности с общей базой отвечают различные характеристические классы, полученные из одного универсального, то эти расслоения неэквивалентны.
Отвечающие последовательностям вложений
Ooo,,'! Goo,П+1 c^ . . ч Gi,,2 c^ Gix^llJrI c^ ... ,
