Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы использовали классификацию критических точек функций на прямой только как иллюстрацию. В действительности нам нужны универсальные комплексы w и v, определяемые аналогично по дискретной стратификации пространств ростков функций произвольного числа переменных на неособые страты, инвариантные относительно стабильной ^-эквивалентности ростков.
Пусть задана лагранжева иммерсия L<^-T*Mn общего положения. Лагранжева проекция в Mn определяет стратификацию многообразия L по типам особенностей лагранжева отображения L-+Mn в соответствии со стратификацией пространства ростков функций.
Теорема ([8]). Каждому (коориентированному) циклу универсального комплекса v(w) отвечает (коориентированный) цикл замкнутого (ориентированного) многообразия L с коэффициентами в Z2 (Z). Класс гомологий комплекса v(w) опреде-
132" ляет класс когомологий многообразия L с коэффициентами в Z2(Z)—индекс пересечения циклов на L с соответствующим (коориентированным) циклом особенностей.
Определяемые классами гомологий универсальных комплексов ш и V классы когомологий на L называются характеристическими классами лагранжевой иммерсии. Эта конструкция обобщает конструкцию класса Маслова п. 1.3. Значение характеристического класса старшей размерности на фундаментальном цикле многообразия l определяет характеристическое число— инвариант класса лагранжева кобордизма. Соответствующий цикл особенностей — это просто набор точек со знаками, определяемыми совпадением или несовпадением коориентации точки с ориентацией многообразия, а характеристическое число — количество таких точек, в ориентированном случае — с учетом этих знаков, а в неориентированном — по модулю 2.
Имеются подобные конструкции [8] характеристических классов и чисел в теории лежандровых кобордизмов. Соответствующие универсальные комплексы <в и v коориентированных и некоориентированных особенностей лежандровых отображений определяются по неособой стратификации пространств ростков (коориентированных) гиперповерхностей в особой точке, инвариантной относительно группы ростков диффеоморфизмов объемлющего пространства, для теории лежандровых кобордизмов в PT*Mn(ST*Mn или J1Mn соответственно).
Характеристические классы лагранжевых иммерсий в Т*Rra или лежандровых иммерсий в /1R", определяемые классами когомологий универсальных комплексов, могут быть индуцированы из подходящих классов когомологий лагранжевых грасс-манианов при отображении Гаусса.
Теорема ([69]). Существуют естественные гомоморфизмы Я*(ш)->Я*(Л+, Z), //*(v)->#*(A, Z2).
Действительно, рассмотрим пространство струй Jlf высокого порядка N ростков в нуле (ориентированных) лагранжевых подмногообразий в r*Rn. Пространство J1 есть лагранжев грас-сманиан А„(Л„+). Расслоение Jn-^-J1 имеет стягиваемый слой, т. е. Jn гомотопически эквивалентно J1. Лагранжева проекция r*Rn-*-R" позволяет стратифицировать пространство Jn по типам особенностей ростков лагранжевых отображений. Подобно тому, как класс Маслова лагранжевой иммерсии общего положения Lt- r*R" определяется прообразом цикла Scr/1 (см. п. 1.4) при отображении Гаусса, каждый цикл особенностей на L является прообразом соответствующего цикла в пространстве Jn при отображении, сопоставляющем точке на L Af-струю лагранжевой иммерсии в этой точке.
3.4. Сосуществование особенностей. Группы когомологий универсальных комплексов и> и v вычислены для стратов коразмерности ^6. Соответствующие классы стабильной /?-эквива-лентности ростков функций следующие: ^2ft-!*, A2h (k=l, 2, 3),
133" Dk* (k = 4, 5, 6, 7), E6, E7, P8, где классы Л, D, Е — простые (см. п. 2.3, гл. 5), a Ps — унимодальный класс ростков х3 + -\-ax2z±xz2+y2z (а— модуль, а2Ф4 в случае знака +; см. [9]). Некоориентируемыми оказываются страты /I4i-Ii и Dfc*. Результаты вычисления групп когомологий приведены в таблице 2.
Таблица. Z
¦ еорш) к 1 2 3 k 5 6
Т* М, Hk(UJ) Z О О Z2 Z г
J1 M образующие A2 - - As Ag или. E5 P8
или нули - - - 2А5 A6 - Eg E7 +ЗРв
ST*M Z2 Z2 Z2 Z2 Z2 г!
образующие A2 A3 Ait. или Bit A5 или Dg A7lE7 или P8
HltM О О О h 1 Z2
образующие - - - A5 Ее E71P8
P т*м Нк(\» Z2 Z2 А 73 Zf ZI
образующее A2 A3 А»,Г* A5 А е,Еб,Е6 A71E71P8
Когомологическое произведение w характеристических классов— тоже характеристический клас. Оказывается, на этом пути не возникает новых характеристических классов.
Теорема. На любом замкнутом лагранжево иммерсирован-ном многообразии верны следующие мультипликативные соотношения между характеристическими классами:
для коориентированных классов A2^A2 = О, A2^A6 = SP8, P8^Ps = О по модулю кручения;
для некоориентированных классов A2^jAi=Ai=Di, Л2^Л6 = = E7 = P8, A2^jA7 = E8 = D8=A8, A^A5 = E7 = P8 и остальные произведения размерности образующих из таблицы 2 нулевые.
Соотношения между циклами особенностей в когомологиях универсальных комплексов накладывают ограничения на сосуществование особенностей. Так, на любом замкнутом ориентированном лагранжевом многообразии подходящей размерности, приведенном в общее положение по отношению к лагранжевой проекции, равно нулю число взятых с учетом знаков точке As, а также числа A6—E6 и Е7 + ЗР8, а на неориентированном четны числа A4+D4, D5, D6, А6+Е6, D7, Е7+Р8, A&+D8 и A8a-E8.
