Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Симплектическая геометрия " -> 52

Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия — Наука, 1985. — 136 c.
Скачать (прямая ссылка): simplekticheskayageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 .. 56 >> Следующая


Ab Ап+1 ^ ..., At*- АІ+i ...

последовательности гомоморфизмов групп когомологий определяют стабильные группы когомологий соответствующих грассманианов.

Теорема ([61], [25]). Градуированные кольца стабильных когомологий грассманианов следующие:

1) Я* (G+, Q) = Q[pi, . . . , Pu, ¦ ¦ ¦ ]—кольцо полиномов с рациональными коэффициентами от целочисленных классов Пон-трягина рк степени 4&;

2) Я*(G, Z2) =Z2[wu ..., wk,.. . ]—кольцо полиномов над полем Z2 от классов Штифеля—Уитни (Е. Stiefel — Н. Whitney) Wh степени k\

3) Я*(A+, Q)—внешняя алгебра над Q с целочисленными образующими степеней 4А+1, k = 0, 1,2,...;

4) Я* (A, Z2)—внешняя алгебра над Z2 от классов Штифеля—Уитни.

Замечания. 1) Ядро эпиморфизма Я*(G, Z2)-»-Я*(A, Z2), определяемого вложениями An^-G2n, n^G«-, п, есть идеал, порожденный квадратами [26]. Отметим, что размерность пространства Hh(AtZ2) над полем Z2 равна числу разбиений k в сумму различных натуральных слагаемых.

2) Каждый ненулевой элемент перечисленных в теореме колец когомологий определяет нетривиальный универсальный ха-

130" рактеристический класс, различающий классы стабильной эквивалентности (ориентированных) векторных расслоений и (ориентированных) векторных расслоений с тривиализованной комплексификацией соответственно.

3.2. Характеристические числа классов кобордизма.

Лемма. Значение га-мерного стабильного характеристического класса касательного расслоения га-мерного замкнутого многообразия на его фундаментальном цикле зависит лишь от класса кобордизма этого многообразия.

Действительно, ограничение касательного расслоения многообразия на его край изоморфно сумме одномерного тривиального расслоения и касательного расслоения края, т. е. стабильно эквивалентно последнему. Значение стабильного характеристического класса касательного расслоения многообразия на фундаментальном цикле края равно нулю, так как этот цикл гомологичен нулю.

Таким образом, каждый стабильный универсальный п-мер-ный характеристический класс определяет характеристическое число замкнутого га-мерного многообразия — инвариант класса кобордизма этого многообразия. Аналогично, характеристические числа лагранжевой (лежандровой) иммерсии в r*Rn(/IRre) определяются га-мерными характеристическими классами тривиализации комплексифицированного касательного расслоения иммерсируемого многобразия и являются инвариантами класса лагранжева (лежандрова) кобордизма. Очевидно, характеристическое число суммы классов кобордизма равно сумме характеристических чисел слагаемых.

Теорема ([35]). 1) Задаваемый характеристическими числами Штифеля—Уитни гомоморфизм групп 3?L„->-H„ (Л, Z2) является вложением.

2) Аналогичный гомоморфизм L„->#„ (Л+, Z) является изоморфизмом по модулю кручения.

Следствие. Класс неориентированного лежандрова кобордизма лежандровой иммерсии в /1Rn определяется числами Штифеля—Уитни иммерсируемого многообразия.

Замечания. 1) Аналогичная теорема справедлива для теории кобордизмов замкнутых многообразий.

2) Число разбиений натурального k в сумму нечетных слагаемых — размерность подпространства Hh градуированного' кольца ®Hh полиномов над Z2 от образующих нечетной степени — равна числу разбиений k на различные слагаемые (разобьем каждое четное слагаемое в сумму 2Г одинаковых нечетных . . . ).

3) Между числами Штифеля—Уитни лежандровых иммерсий имеются соотношения. Например, индекс Маслова замкнутой лежандровой кривой в /1R четен, т. е. характеристическое число Ш[ = 0. Наоборот, класс ориентированного лежандрова кобордизма такой кривой определяется классом Маслова —•

9*

131' удвоенной образующей группы H1 (А+, Z), так что Li-*-—уЛі (A+, Z) — изоморфизм.

4) Умножение характеристических классов вместе с умножением двойственных к ним объектов — классов кобордизма — задают в L,<8>Q структуру алгебры Хопфа: коумножение L.-*--*-L.®L. (по модулю кручения) является гомоморфизм алгебр.

5) Следствие не имеет аналога в ориентированном случае: классы Понтрягина касательного расслоения многообразия, допускающего лагранжеву иммерсию в Г*Rn, нулевые.

3.3. Комплексы особенностей. Разобьем пространство ростков гладких функций одной переменной в критической точке О с нулевым критическим значением (точнее — пространство струй таких функций достаточно высокого порядка) на неособые страты—классы ^-эквивалентности (см. § 2, гл. 5) Лі±, A2, А3і, A4,... и класс, содержащий нулевую функцию. Назовем страт конечной коразмерности коориентируемым, если его нормальное расслоение обладает ориентацией, инвариантной относительно действия группы ростков диффеоморфизмов в пространстве ростков функций. Некоориентируемыми оказываются страты A^1 _і и только они. Например, трансверсаль к страту A3* в точке х4 можно взять в виде X4+KxXijrK2X2-, замена —х меняет ориентацию трансверсали. Определим комплекс со, группа fe-цепей которого состоит из формальных целочисленных линейных комбинаций коориентированных стратов коразмерности k. Смена коориентации меняет знак страта. Кограничный оператор б определяется примыканиями стратов как обычный оператор взятия границы цепей. Заметим, что некоориентируемый страт входит в границу коориентируемого с нулевым коэффициентом, поэтому оператор б коректно определен и S2=O. Комплекс v, не учитывающий коориентацию стратов, состоит из формальных сумм с коэффициентами в поле Z2 всех стратов и снабжается оператором взятия границ страта по модулю 2.
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed