Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Y (<?, t) = у Ф (qj) I dQt/dqj 1-1/2 exp U sJMJl+ о (h),
где S (Q, t) — действие вдоль траектории g"x,\ S;(Q, t) =
t 1 '
= / (<7y) + J (pdq — LfdT), a ^y-- индекс Морса траектории grxP
O
т. е. число критических точек лагранжевых проекций Lx-+ R" на этой траектории при 0<т <?.
1.2. Индекс Морса и индекс Маслова. Индекс Морса является частным случаем индекса Маслова. Пусть в пространстве кокасательного расслоения Т*Х конфигурационного многообразия X задано лагранжево подмногообразие L общего положения. Индексом Маслова ориентированной кривой на L называется ее индекс пересечения с циклом особых точек лаг-ранжевой проекции L-+X. Это определение нуждается в уточнении.
118" У V
I I I I -і--t-
г Qtd)
Рис. 55
Лемма. Множество Г особых точек лагранжевой проекции L-^-X— гиперповерхность в L, гладкая вне множества коразмерности 3 в L. Гиперповерхность Г обладает канонической коориентацией, т. е. в каждой ее точке (вне множества коразмерности 3) можно указать, какая сторона Г «положительная», какая — «отрицательная».
Индекс Маслова ориентированной кривой общего положения на L определяется теперь, как число ее переходов с «положительной» стороны Г на «отрицательную» минус число обратных переходов. Для произвольной кривой, концы которой не лежат на Г, ее индекс Маслова принимается равным индексу Маслова ее возмущения и, по лемме, не зависит от этого возмущения.
Доказательство леммы. В соответствии с классификацией лагранжевых особенностей (гл. 5), росток лагранжева отображения L-+X в общей точке имеет тип Au в точках некоторой гиперповерхности — тип A2 (общие точки Г), в точках многообразия коразмерности 2 — тип Изучение нормальной формы ростка Ai показывает, что в точках типа А з гиперповерхность Г неособа (рис. 56). Особенности Г начинаются со страта Di и образуют множество коразмерности ^3. Для коориентации гипорповерхности Г рассмотрим интеграл действия / pdg. Локально на многообразии L он определяет однозначно с точностью до постоянного слагаемого гладкую функцию 5 — производящую функцию для L. В особой точке типа A2 ядро дифференциала лагранжевой проекции Ь~уХ одномерно и является трансверсальной к Г касательной прямой. На этой прямой первый и второй дифференциал функции S обращаются в нуль, поэтому корректно определен третий дифференциал. Он отличен от нуля. Мы принимаем за «положительную» ту сторону гиперповерхности Г, в направлении которой третий дифференциал функции S растет. Непосредственная проверка (рис. 56) показывает, что такая коориентация корректно продолжается в точки типа Аз.
Индекс Морса можно интерпретировать как индекс Маслова. Рассмотрим фазовое пространство R2n+2 с координатами (Po, Р, до, д), где (р, q) GR2m. Если положить д0=т, p0 = —H(p,q),
119" Рис. 56
а точку (р, q) заставить пробегать лагранжево многообразие Lx в R2", то при изменении т от 0 до t получим п-f-l-мерное лагранжево многообразие L в R2n+2. Фазовые кривые потока гамильтониана Н, начинающиеся на L0, можно рассматривать как кривые на L. Индекс Маслова такой кривой на L совпадает с индексом Морса исходной фазовой кривой в R2n. Действительно, вклад критической точки типа A2 лагранжевой проекции LT—>-Rn в индекс Маслова проходящей через эту точку фазовой кривой определяется знаком производной d3S/dv2dт, где 5 = / (pdq—Hdx) — производящая функция для L, v —-вектор из ядра дифференциала проекции Lc-R2n+2->-Rn+I в рассматриваемой критической точке. Эта производная всегда отрицательна ввиду выпуклости функции H=p2/2+U (q) по импульсам. Поэтому каждая критическая точка, лежащая на фазовой кривой, дает вклад +1 как в ее индекс Маслова, так и в индекс Морса.
1.3. Индекс Маслова замкнутых кривых. Индекс пересечения замкнутой кривой на лагранжевом многообразии LczT*X с коориентированной гиперповерхностью Г особых точек проекции L-+X не меняется при замене кривой на гомологичную. Поэтому Г определяет класс Маслова в группе когомологий H1 (L, Z).
Индексы Маслова замкнутых кривых входят в асимптотические формулы для решений стационарных задач (собственных колебаний) [19]. Предположим, что на многообразии уровня H=E гамильтониана H=p2/2-\-U(q) лежит лагранжево подмногообразие L. Если последовательность чисел fizv—>-°о удовлетворяет условиям
§ pdq = ind у (mod 4)
v
для всех замкнутых контуров у на L (для существования последовательности достаточно существования хотя бы одного
120" такого числа [X^=O), то уравнение АЧг/2=,K2(U(q)—имеет серию собственных чисел Kn с асимптотикой Ajv=|ілг+0 (jxjv-1) .
В одномерном случае лагранжево многообразие —окружность, ее индекс равен двум, и предыдущая формула превращается в так называемое «условие квантования» (см. статью А. А. Кириллова)
Например, в случае H = p2l2 + q2l2 при заданной постоянной Планка Л=1/ц получаем точные значения для собственных уровней энергии EN = h(N +1/2), JV = O, 1,..., квантового гармонического осциллятора.
Класс Маслова лагранжевых подмногообразий стандартного симплектического пространства R2n является прообразом универсального класса лагранжева грассманиана An при отображении Гаусса (С. F. Gauss). Отображение Гаусса G : L-+An сопоставляет точке лагранжева подмногообразия касательное лагранжево пространство в этой точке. Группа когомологий H1 (Ап, Z) изоморфна Z.
