Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Эквивариантная лемма Морса [31]. Голоморфная функция в Сй, инвариантная относительно линейного представления компактной (например, конечной) группы G в Cfe, с невырожденной критической точкой в нуле приводится к своей квадратичной части локальным диффеоморфизмом, коммутирующим с действием G.
Можно показать, что такой диффеоморфизм опускается до диффеоморфизма пространства многочленов.
Общий случай получается аналогично с использованием отображений Виета Vе -+Vе/W других групп Вейля (и при m>0 — леммы Морса с параметрами из п. 2.2).
Перестройки каустик в однопараметрических семействах общего положения, подобно перестройкам фронтов, описываются разбиениями большой каустики — объединения мгновенных каустик в пространстве-времени — поверхностями уровня функции времени. Однако, в отсутствие аналога отображения
111" Рис. 48
Виета для каустик, эти перестройки даже для простых больших каустик не имеют такой универсальной нормальной формы, как перестройки фронтов.
Список нормальных форм функции времени вычислен в случаях Av, и Dn [6]. Большая каустика задается производящим семейством F = ±х^+х jTq0XV-1...+q^-zx в случае Л у, и F=x?x2±x»-x-\-qoX»-2-\- ... + в случае D11.
Здесь пространство - время есть Rm X Rm""1, ^gRti-1, TgRm. Эквивалентностью перестроек росток функции времени общего положения можно привести в случае All к виду t = xy либо t=+q0± + T12 ± ... + тт2, а в случае Dvl, если допускать также диффеоморфизмы оси значений функции времени, —к виду t = T1 либо
112" О о
A3K-)
о
A,H
A5
Рис. 49
¦ Tm2. Если в
случае Dll
при
т = 0, приводя функцию времени к нормальной форме, допускать диффеоморфизмы проколотой окрестности начала координат в пространстве-времени, непрерывно продолжающиеся в эту точку, то получающаяся топологическая классификация перестроек общего положения оказывается конечной (В. И. Бахтин): для Dc t = q0-\-qu для D4+ t = qQ±qx либо і = = <7о+<7з, для D2h при k&s3 t = q0±qu для D2h+l t = ±q0.
В общих однопараметрических семействах каустик в пространствах размерности /^3 встречаются лишь перестройки, эквивалентные перечисленным перестройкам типов A11 и Dli с
р,—2-\-m=l. На рис. 49, 50 изображены эти перестройки I = 3.
при
8—2538
113 Рис. 50
Не все перестройки каустик реализуются в геометрической оптике. Так, каустика пучка прямолинейных лучей от гладкого источника на плоскости не имеет точек перегиба (это станет ясно в п. 3.5). «Летающая тарелка» перестройки Л3(+,+) также не может быть реализована как каустика пучка геодезических римановой метрики на трехмерном многообразии.
3.5. Фронты в задаче об обходе препятствия. В задаче о скорейшем обходе препятствия, ограниченного гладкой поверхностью в евклидовом пространстве, экстремали суть лучи, срывающиеся по касательным направлениям к пучку геодезических на поверхности препятствия. В п. 1.6 гл. 3 были изучены особенности системы лучей, касательных к пучку геодезических на поверхности общего положения. Здесь мы опишем, следуя О. П. Щербаку, особенности функции времени и ее уровней — фронтов, в предположении об однозначности функции времени на поверхности препятствия. Среди нормальных форм в этой задаче появляется дискриминант группы симметрий икосаэдра.
Применительно к нашей задаче принцип Гюйгенса состоит в том, что каждая точка х поверхности препятствия излучает в пространство вдоль всех лучей, близких к направлению геодезической пучка на поверхности в точке х. Оптическая длина пути, состоящего из отрезка геодезической пучка от источника до точки X и отрезка луча из точки х в точку q пространства (рис. 51) есть F(x, q) =cp(x) + G(x, q), где ф(х)—функция вре-
114" мени на поверхности, G{x,q) — расстояние между х и q в пространстве. Экстремали задачи об обходе препятствия, проходящие через точку q, срываются с поверхности препятствия в критических точках функции F(-,q). Решающее для дальнейшего наблюдение состоит в том, что все критические точки производящего семейства F четнократны. Доказательство изображено на рис. 52: экстремали общего положения отвечает критическая точка типа A2, кратность более сложной критической точки равна удвоенному числу точек типа A2, на которые она распадается при возмущении параметра q.
Приведение к нормальной форме производящих семейств F(x,q) в случае общего положения сводится к перечислению таких максимальных подсемейств (с неособой базой) в R-ми-ниверсальных семействах четнократных ростков функций, в которых все функции имеют только четнократные критические точки. Ниже перечислены такие деформации простых ростков
X
Аж• У2+Uak+ 4
и
У
D'2k: х2и-J' [(a*+ ^a*"1-і- ... + q^tf + q*.u'4tL ±
о
±qk-\X + qk\ Es'-. л:3-fy4 + <7i!/2+<M + <72;
Es': xs + yi + qa^+q^+q3y + qi\
у
E8": (и2 jTqxX + qtfdu, т <ч-
о
Фронт семейства состоит из точек в пространстве параметров, которым отвечают функции с критической точкой на нулевом уровне.
Теорема. Функции производящего семейства в задаче об обходе препятствия общего положения в пространстве в случае пучка геодезических общего положения на поверхности препятствия имеют лишь простые критические точки. График
