Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма Морса с параметрами ([6]). Росток функции в критической точке коранга г /^-эквивалентен ростку в нуле функции вида const+<p(xi,..., xr)ztxr+i2± ...+Xn2, где Ф = 0(|*|3).
Эта лемма объясняет появление понятия стабильной эквивалентности в теоремах о производящих семействах: в действительности росток в точке лагранжева (лежандрова) отображения можно задавать ростком производящего семейства с нулевым вторым дифференциалом функции в этой точке. Расслоенная эквивалентность минимальных в этом смысле производящих семейств равносильна эквивалентности исходных отображений. Для построения минимальных производящих семейств нужно лишь в конструкциях пп. 1.2, 1.4 выбрать минимальным число «патологических» переменных Pj.
Ростки функций (возможно, разного числа переменных) называются стабильно R(R+, ^-эквивалентными, если они R(R+, V)-эквивалентны суммам одного и того же ростка ранга нуль с невырожденными квадратичными формами от подходящего числа дополнительных переменных.
Вырожденная критическая точка распадается на невырожденные при деформации (рис. 38). Если количество последних конечно при любой малой деформации, то критическая точка
a = X3-цх
Рис. 38
100" называется конечнократной. Росток функции в конечнократной критической точке ^-эквивалентен своему полиному Тейлора достаточно высокого порядка. В голоморфном случае конечно-кратность равносильна изолированности критической точки. Число невырожденных, на которые такая точка распадается при деформации, не зависит от деформации и называется кратностью или числом Милнора (J. Milnor) ц критической точки. Бесконечнократные ростки образуют в пространстве ростков функций множество бесконечной коразмерности.
2.3. Простые особенности. Росток функции в критической точке называется простым, если его окрестность в пространстве ростков функции в этой точке покрывается конечным числом классов эквивалентности. Понятие простоты, вообще говоря, зависит от отношения эквивалентности и применимо к любому действию группы Ли на многообразии. Число параметров (модулей), необходимых для параметризации орбит в окрестности данной точки многообразия, называется модальностью точки. Примеры: модальность любого квадратичного гамильтониана в R2n относительно действия симплектической группы равна п\ критическое значение является модулем относительно /^-эквивалентности в пространстве ростков функций в данной точке, но не является модулем для ^+-эквивалентности в этом пространстве.
Теорема ([6]). Росток функции в критической точке, простой в пространстве ростков гладких функций (с нулевым значением в этой точке), стабильно R+ (соответственно R, У)-эквивалентен одному из следующих ростков в нуле
А*' |1>1:/(*)= \1>4:/(х,у)^х2у±у»-г;
Еб'/(х, y)=xz±y*\ E7:/(х, у)=х3+ху3;
E8:/(х, у) =X3 -4-у6.
Непростые ростки образуют множество коразмерности 6 в этих пространствах.
Замечания. 1) Индекс р. равен кратности критической точки. 2) Перечисленные ростки попарно стабильно неэквивалентны, кроме следующих случаев: Лм~Лйі, Лц~Л|Г, и, Ев-Ef, А і-Af (стабильно). 3) В голоморфном случае ростки, различающиеся лишь знаком ±, эквивалентны между собой. На рис. 39 изображены примыкания простых классов и окаймляющих их унимодальных классов в пространстве функций.
2.4. Платоновы тела. Список особенностей Л„, Dv., E11 в ином контексте был известен еще в прошлом веке. Рассмотрим конечные подгруппы в группе SU2. Их можно описать как бинарные подгруппы правильных многоугольников, диэдров (правильных многоугольников в пространстве), тетраэдра, куба и
IOl A1- a2- a3 — -ч- a5- a6 — A7 — A8 — ---
\ \ \\ \\ \\
Dlf- JJ5-D6- D7 — D8 -----
\\ W ч
E6- E7-E8
t t t
pJ. * s Jio
Рис. 39
икосаэдра. Определение бинарной группы состоит в следующем. Группа SU2 эпиморфно отображается на группу вращений SO3 с ядром {±1}. Группа вращений правильного многогранника в пространстве — конечная подгруппа в SO3. Прообраз этой группы в SU2 и есть бинарная группа многогранника. Правильному га-угольнику по определению соответствует циклическая подгруппа порядка га в SU2.
Конечная подгруппа TcSU2 действует (вместе с SU2) на плоскости С2. Факторпространство С2/Г — алгебраическая поверхность с одной особой точкой. Алгебра Г-инвариантных полиномов на C2 имеет три образующих х, у, z. Они зависимы. Соотношение f(x, у, z)= О между ними — это уравнение поверхности С2/Г в С3. Например, в случае циклической подгруппы Г порядка га, порожденной унитарным преобразованием плоскости [и, и) (е2кі/пи, e~2*i/nv), алгебра инвариантов порождена мономами x = uv, у = ип, Z = Vn с соотношением Xn = yz.
Теорема ([52]). Все поверхности С2/Г для конечных подгрупп TeSU2 имеют особенности типов A11 (для многоугольников), D11 (для диэдров), E6, Ет, E8 (для тетраэдра, куба и икосаэдра соответственно).
2.5. Миниверсальные деформации. В теории деформаций ростков функций удается доказать теорему версальности [6]: конечнократные ростки имеют версальные деформации (с конечным числом параметров).
/?-миниверсальная деформация конечнократного ростка (относительно псевдогруппы локальных замен независимых переменных) может быть построена следующим образом. Рассмотрим росток функции ї в критической точке О кратности ц. Пусть /(O) =0.
