Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема ([6]). Два ростка производящих семейств гиперповерхностей задают эквивалентные ростки лежандровых отображений, если и только если эти семейства гиперповерхностей расслоенно стабильно эквивалентны.
Причина появления здесь стабильной эквивалентности станет ясна в § 2.
1.3. Каустики и лагранжезы отображения. Лагранжевым отображением называется диаграмма, состоящая из вложения гладкого многообразия в качестве лагранжева подмногообразия в пространство лагранжева расслоения и проекции на базу этого расслоения.
Примеры. А. Градиентное отображение q^dSjdq лагранжево.
Б. Гауссово отображение трансверсально ориентированной гиперповерхности в евклидовом пространстве Rn в единичную сферу лагранжево. Действительно, оно является композицией двух отображений. Первое сопоставляет точке гиперповерхности ориентированную нормаль к гиперповерхности в этой точке; его образ — лагранжево подмногообразие в пространстве всех прямых в R", изоморфном (ко) касательному расслоению сферы (рис. 34). Второе — это лагранжево проектирование T*Sn~ '-vS"-1.
В. Нормальное отображение, сопоставляющее вектору uv нормали к подмногообразию в евклидовом пространстве, при-
95" ложенному в точке и, точку V самого пространства, лагранжево.
Множество критических значений лагранжева отображения называется каустикой (рис. 35).
Пример. Каустика нормального отображения подмногообразия в евклидовом пространстве есть множество его центров кривизны: чтобы построить каустику, нужно вдоль каждой нормали отложить соответствующие радиусы главных кривизн.
Лагранжевой эквивалентностью лагранжевых отображений называется симплектоморфизм лагранжевых расслоений, переводящий лагранжево многообразие первого отображения в лагранжево многообразие второго.
Замечания. 1. Автоморфизм лагранжева расслоения Т*М-+М разлагается в произведение автоморфизма, индуцированного диффеоморфизмом базы, и автоморфизма сдвига (р, q) {p + q>{q), q), где <р — замкнутая 1-форма на Af.
2. Каустики эквивалентных лагранжевых отображений диф-феоморфны. Обратное, вообще говоря, не верно.
3. Каждый росток лагранжева отображения эквивалентен ростку градиентного (гауссова, нормального) отображения. Все ростки лагранжевых отображений, близкие к данному градиентному (гауссову, нормальному), сами являются градиентными (гауссовыми, нормальными). Поэтому локальные явления общего положения в этих классах лагранжевых отображений те же, что и в классе всех лагранжевых отображений.
1.4. Производящие семейства функций. Лагранжево сечение кокасательного расслоения, т. е. замкнутая 1-форма на базе, задается своей производящей функцией — потенциалом этой 1-формы. Рассмотрим вспомогательное расслоение Rh+,-*-Rl. Ковекторы из Т*RA+', обращающиеся в нуль на касательном пространстве к слою в точке своего проложения, образуют смешанное подмногообразие Qc:T*Rk+l. Смешанное многообразие расслаивается над Г*R' с fe-мерными изотропными слоями. Лагранжево подмногообразие в r*RA+{, трансверсальное Q, называется правильным. Проекция в Т*Ri пересечения AflQ правильного лагранжева многообразия является иммерсированным
Рис. 34
Рис. 35
96" лагранжевым подмногообразием в Т*R'. Обратно, любой росток лагранжева подмногообразия в Т*Ri может быть получен проекцией пересечения со смешанным подмногообразием Q правильного лагранжева подмногообразия Л, являющегося сечением кокасательного расслоения «большого» пространства, при подходящем выборе вспомогательного расслоения.
Производящим семейством функций ростка лагранжева отображения называется росток функции на «большом» пространстве, который производит правильное лагранжево сечение кокасательного расслоения «большого» пространства и посредством описанной выше конструкции определяет данное лагранжево отображение. (Функция на R"+i рассматривается здесь как семейство функций на слоях проекции Rft+!-»-R', зависящих от точки базы как от параметра.)
В координатах Дарбу (ри р3, qu q}) для лагранжева расслоения j*R'-^R! таких, что лагранжево подмногообразие в r*R! неособо проектируется вдоль (Pj, q3)-пространства, зададим это подмногообразие уравнениями pI = dS/dqI, q3 = =—dS/dpj, где S(pj, qi) — некоторая гладкая функция. Тогда семейство функций F(x, q) =xqj + S(pj, q,) можно взять в качестве производящего семейства лагранжева отображения нашего лагранжева подмногообразия в T*Rl на базу R'.
В общем случае семейство функций F(x, q) является производящим для некоторого лагранжева отображения, если и только если rk(Fxx, Fxq) = k. В этом случае оно определяет
а) правильное лагранжево подмногообразие Л в Т*Rft+':
Л= {(у, р, х, q)\y = F„ P = Fq)-,
б) пересечение Л со смешанным пространством Q=.{z/ = 0}:
AflQ= {(р, х, q) IFx=Q, p = Fq}-
в) лагранжево многообразие LczT*R' — проекцию AflQ:
L= {(р, q) \Rx:Fx(x, q) = 0, p = Fq(x, q)}-,
г) каустику К в R!:
K={q\Zx:Fx(x, q) = 0, det ?)1=0}. (2)
Назовем два семейства функций Fi (х, q), F2(x, q) расслоен-но ^+-эквивалентными, если существует такой расслоенный диффеоморфизм (х, q) ^ (h(x, q), ф(<?)) и такая гладкая функция xViq) на базе, что F2(x, q)=Fi(h(x, q), у (q)) +xV (q). Два семейства функций F\(х\, q), F2(x2, q) от различного, вообще говоря, числа переменных назовем стабильно расслоенно ^+-эквивалентными, если они становятся расслоенно ^+-эквива-лентными после прибавления к ним невырожденных квадратичных форм Qi(Zi), Q2(Z2) от новых переменных
