Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Коиіелек
Рис. 42
Рис. 43
') и при I^zlO (/\>6) могут иметь функциональные модули.
105" Соответствующая теория лагранжевых и лежандровых отображений и их производящих семейств приводит к теории особенностей функции на многообразии с краем. Под краем следует понимать неособую гиперповерхность на многообразии без края. Точка считается особой для функции на многообразии с краем, если она критическая либо для самой функции, либо для ее ограничения на край. От диффеоморфизмов, входящих в определение эквивалентности, требуется чтобы они сохраняли край, (в вещественном случае — каждое полупространство дополнения края). Теория краевых особенностей функций включает в себя обычную, поскольку функции могут иметь особенности и вне края.
Теорема. Простые ростки функций на многообразии с краем стабильно эквивалентны росткам в нуле (край л; =0) либо D^{±), ±x+f(y, z), где / (у, z) — росток
^4jf, Dv, Ev из п. 2.3 на краю; либо Bv, ji>2: +хfiJ Cjr, \i>2: xy±i?; Ft: ±х2 + у3.
Замечания. 1) Перечисленные ростки попарно неэквивалентны, кроме случаев: A2k-A2k, C2-Bf (стабильно), а также ростки, различающиеся знаками +, эквивалентны в голоморфной и !/-классификации, кроме случая C2 ft+i) в котором гиперповерхности C2kJvX вещественно неэквивалентны.
2) Роль невырожденных особенностей в краевой теории играют ростки A1: ±х ±ух2 + ... ±уп2, ^ A1: ±(х — X0)2 ± ±У2 + ..-±Уп21 так что особенности Лц, Dli, Eli можно считать стабилизацией особенностей Av., Dv, Ev. на краю.
3) Простые особенности вне края — А», Dv, Ev.
4) Теория краевых особенностей функций эквивалентна теории критических точек четных по переменной и функций на двулистном накрытии X = U2, ветвящемся вдоль края х=0.
Построение миниверсальных деформаций конечнократных краевых особенностей аналогично описанному в п. 2.6 и сводится к нахождению мономиального базиса локальной алгебры R{х, ух, ..., Уп)!(xdf/дх, дf Іду). Для ростков Bv., Cv, Fi такой базис указан в таблице 1. Фронты миниверсальных семейств Bv, и Cv диффеоморфны между собой и состоят из двух неприводимых гиперповерхностей в пространстве многочленов степени Ji с фиксированным старшим коэффициентом — множества многочленов с нулевым корнем и множества многочленов с кратным корнем. В случае Bv, первая компонента имеет смысл фронта излучения от края источника (Ai), вторая— фронта от самого источника (^1), а в случае Cv, все наоборот. Каустики Bv и Cv диффеоморфны фронтам Bv+1 и Cjm-I. Фронты и каустики ростков Лц, Dv, Ev-такие же, как у Av., Dv, Ev,. На рис. 44 изображены каустики Bv, Cv,, Fi в пространстве и на плоскости.
106" Теорема. Росток волнового фронта (каустики) общего положения от «источника с краем» в пространстве /:?4 (1^.3) измерений устойчив и диффеоморфен декартову произведению фронта (каустики) миниверсального семейства одного из ростков A11, B11, C11, Dil, Ev., Fa с h-=S^ (ц—1^0 на росток неособого многообразия размерности I—ц (/—ц+1) либо объединению таких трансверсальных фронтов (каустик). Неустойчивые фронты (каустики) общего положения встречаются в пространствах размерности /13=5 (/^= 4).
107" Пример ([27]). Пусть в евклидовом пространстве R3 задана поверхность общего положения с краем. Там, где край касается линии кривизны поверхности, тройка — фокальные точки поверхности (A2) фокальные точки края (A2), нормали к поверхности в точках края (B2) — образует в центре кривизны поверхности каустику Fi.
Симплектическая версия теории каустик от источника с краем приводит к следующему объекту: в пространстве лагранжева расслоения два некасающихся лагранжевых многообразия, пересекающихся по гиперповерхности в каждом из них. Каустика такого объекта состоит из трех частей: каустик обоих лагражевых многообразий и проекции их пересечения на базу лагранжева расслоения.
Теория производящих семейств таких объектов сводится к теории особенностей функций на многообразии с краем [63]. Перестановке двух лагранжевых многообразий отвечает перестановка классов стабильной эквивалентности самой функции и ее ограничения на край [28]. Эта двойственность обобщает двойственность серий В я С простых краевых особенностей и проясняет классификацию унимодальных и бимодальных кри- ¦ тических точек функций на многообразии с краем [20].
3.3. Группы Вейля и простые фронты. Классификация простых ростков функций на многообразии с краем параллельна многим другим классификациям «простых» объектов. Одной из них является классификация групп симметрий правильных целочисленных многогранников в многомерных пространствах.
Группой Вейля называется конечная группа ортогональных преобразований евклидова пространства V, которая порождена отражениями в гиперплоскостях и сохраняет некоторую полномерную целочисленную решетку в V. Неприводимые пары (группа Вейля, решетка) классифицируются по диаграммам Дынкина [36]; см. рис. 45.
Вершины диаграммы Дынкина соответствуют базисным векторам решетки Z", ребра по определенным правилам задают скалярное произведение базисных векторов (отсутствие ребра
Рис. 45
