Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
к+
Fiixu q) +Qi(Zi) ~F2(х2, q)+Q2(Z2).
7—2538
97 Пример: семейство x3 + yz + qx (q — параметр) стабильно расслоенно ^+-эквивалентно семейству x3 + qx.
Теорема ([6]). Два ростка лагранжевых отображений лагранжево эквивалентны, если и только если ростки их производящих семейств стабильно расслоенно ^+-эквивалентны.
1.5. Резюме. Исследование особенностей каустик и волновых фронтов свелось к изучению производящих семейств функций и гиперповерхностей. Формулы (1) и (2) означают, что фронт производящего семейства гиперповерхностей состоит из тех точек пространства параметров, для которых гиперповерхность семейства особа, а каустика производящего семейства функций состоит из тех точек пространства параметров, для которых функция семейства имеет вырожденные критические точки, т. е. такие точки, в которых дифференциал функции обращается в нуль, а квадратичная форма второго дифференциала вырождена.
Все определения и результаты этого параграфа дословно переносятся на голоморфный или вещественно-аналитический случай.
§ 2. Классификация критических точек функций
Рассматриваемая ниже теория деформаций ростков функций и гиперповерхностей в принципе аналогична конечномерной теории деформаций, развитой в § 3 главы 1 для квадратичных гамильтонианов.
2.1. Версальные деформации: неформальное описание. Производящее семейство гиперповерхностей лежандрова отображения является семейством нулевых уровней некоторого семейства гладких функций. Семейство функций мы рассматриваем как отображение (конечномерной) базы семейства в бесконечномерное пространство гладких функций. Функции с особым нулевым уровнем образуют множество коразмерности один в этом пространстве. Фронт лежандрова отображения — это прообраз множества таких функций в базе производящего семейства (рис. 36). Производящее семейство функций лагранжева отображения вычитанием семейства констант (это ^+-эквивалентность!) превращается в семейство функций, равных нулю в начале координат. Поэтому лагранжево отображение можно задавать отображением базы в пространство таких функций. Функции с вырожденными критическими точками образуют множество коразмерности один в этом пространстве. Прообраз этого множества в базе — каустика производимого семейством лагранжева отображения.
Наша дальнейшая программа такова. Мы будем называть росток лагранжева (лежандрова) отображения устойчивым, если все близкие ростки лагранжевых (лежандровых) отображений ему эквивалентны. На языке производящих семейств это
95" означает, что ростки, близкие к данному производящему семейству, расслоенно эквивалентны ему. Расслоенная эквивалентность — это эквивалентность семейств точек функционального пространства относительно действия в нем подходящей (псевдогруппы (см. п. 3.1, гл. 1). Мы получаем следующий результат: росток в точке лагранжева (лежандрова) отображения устойчив тогда и только тогда, когда росток его производящего семейства в этой точке версален относительно эквивалентности в соответствующем функциональном пространстве1*.
Далее мы приведем результаты по классификации ростков функций и увидим, что начальная часть этой классификации дискретна. Это означает, что почти все пространство функций заполнено конечным числом орбит (рис. 37), а непрерывные семейства орбит образуют в пространстве функций множество положительной коразмерности /. Поскольку семейства функций общего положения, рассматриваемые как отображения базы в функциональное пространство, трансверсальны этому множеству и каждой орбите из конечного списка, мы получим для лагранжевых и лежандровых отображений такие следствия:
росток лагранжева (лежандрова) отображения общего положения с базой размерности меньше Z = 6 (соответственно 7) устойчив и эквивалентен одному из ростков конечного списка.
Наконец, изучив миниверсальные деформации представителей конечного числа орбит, мы получим явное с точностью до-диффеоморфизма описание особенностей каустик (волновых фронтов) в пространствах менее 1 = 6 (соответственно 7) измерений.
'> Определение (мини)версальной деформации см. в п. 3.1 главы 1.
Пространство функций
Рис. 36
Рис. 37
1
99 2.2. Критические точки функций. Нам понадобятся следующие отношения эквивалентности в пространстве ростков в нуле голоморфных (гладких) функций в Cn (соответственно в Rn).
^-эквивалентные ростки переводятся друг в друга ростком в нуле диффеоморфизма, пространства — прообраза;
^+-эквивалентные ростки становятся ^-эквивалентными после сложения одного из них с подходящей константой;
V-эквивалентные ростки становятся ^-эквивалентными после умножения одного из них на росток не обращающейся в нуль функции (У-эквивалентность ростков функций — это эквивалентность ростков гиперповерхностей их нулевых уровней).
В критической (или особой) точке функции ее диференциал обращается в нуль. Критическая точка невырождена, если такова квадратичная форма второго дифференциала функции в этой точке. По лемме Морса [6] функция в окрестности невырожденной критической точки ^-эквивалентна функции + ^12+ ... +X712 + const. Корангом критической точки называется коранг второго дифференциала функции в этой точке.
