Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Лежандровой эквивалентностью двух лежандровых отображений называется контактоморфизм соответствующих лежандровых расслоений, переводящий лежандрово многообразие первого лежандрова отображения в лежандрово многообразие второго.
Замечания. 1. Контактоморфизм лежандровых расслоений однозначно определяется диффеоморфизмом баз. Гладкий фронт лежандрова отображения однозначно определяет исходное лежандрово подмногообразие. В этом смысле действие лежандровой эквивалентности сводится к действию диффеоморфизма базы на фронт. Это замечание применимо и к тем особым фронтам, у которых множество точек регулярности плотно в исходном лежандровом многообразии. Последнее условие нарушается лишь для ростков лежандровых отображений, образующих множество коразмерности бесконечность в пространстве всех ростков.
2. Можно показать, что все (с точностью до эквивалентности) лежандровы особенности реализуются уже в случае экви-дистант гиперповерхностей в евклидовом пространстве. В этом смысле исследование лежандровых особенностей совпадает с исследованием эквидистант (можно показать, что близким лежандровым особенностям соответствуют эквидистанты близких гиперповерхностей и обратно, так что особенности общего положения для фронтов лежандровых отображений — те же, что для эквидистант). То же самое можно утверждать об особенностях гиперповерхностей, проективно двойственных гладким, или об особенностях преобразований Лежандра графиков гладких функций.
1.2. Производящие семейства гиперповерхностей. Неособое лежандрово отображение определяется своим фронтом — производящей гиперповерхностью лежандрова многообразия. Произвольное лежандрово отображение можно задавать производящим семейством гиперповерхностей. Рассмотрим вспомогательное тривиальное расслоение RA+!->-R! «большого пространства» Rft+' над базой Ri. Контактные элементы в RA+I, касательные к слоям расслоения, образуют смешанное подмногообразие Pcz czPT*Rh+l коразмерности k. Смешанное многообразие расслаивается над многообразием контактных элементов базы (рис. 33). Лежандрово подмногообразие в PT*Rh+! называется
93"
Z
IRe
Рис. 33
правильным, если оно трансверсально смешанному пространству Р.
Лемма 1. Образ проекции пересечения правильного лежандрова многообразия со смешанным пространством P в пространство контактных элементов базы является иммерсирован-ным лежандровым подмногообразием.
2. Всякий росток лежандрова подмногообразия в PT*R' получается этой конструкцией из некоторого порожденного производящей гиперповерхностью правильного лежандрова подмногообразия подходящего вспомогательного расслоения.
Приведем доказательство второго утверждения леммы. Введем в расслоении PT*Ri-^R' такие контактные координаты Дарбу (и, р, q) = [и, р„ pj, q}, q}), I[}J = {1,..., 1}, I{\1 = 0, чтобы исследуемый росток лежандрова подмногообразия однозначно проектировался на пространство координат (pJt q,) вдоль (и, ри qj)-пространства. Тогда из соотношения du= = pdq = d{p3q,)—qjdpj + Pidq1 получим: существует такой росток гладкой функции S (pj, q/), что наше лежандрово подмнегооб-разие задается уравнениями
Pl = OSjdq1, qj = —dS/dpj, u = pjqj + S(pj, q,).
Рассмотрим теперь гиперповерхность u = F(x, q) в «большом» пространстве Rh+l, где k=\J\, a F(x, q) =xqj+S(x, qx), как производящую гиперповерхность лежандрова многообразия u = F, у = Fx, p = Fq. Применение конструкции первой части леммы приводит к исходному лежандрову ростку в PT*R1. Условие правильности имеет вид det(/7^j )^=0 и выполнено.
Гиперповерхность большого пространства, через которую росток лежандрова отображения задается описанной в лемме конструкцией, называется производящим семейством гиперповерхностей этого лежандрова отображения (элементы семейства, вообще говоря, — особые пересечения гиперповерхности со слоями расслоения RA+'->-R').
Замечание. «Физический смысл» производящего семейства состоит в следующем. Рассмотрим распространение света
94" в R' от источника XcR' размерности k. Согласно принципу Гюйгенса (С. Huygens), каждая точка х источника излучает сферическую волну. Обозначим через F(х, q) время распространения этой волны до точки q пространства R'. Тогда условие, что наименьшее время движения света от источника X до точки q равно и, дает уравнения
Ялте* : и = F (х, q), dF(x, q)/dx = 0. (1)
Это и есть уравнение фронта для проекции в Ri пересечения лежандрова многообразия {u = F, y = Fx, p = Fq} со смешанным пространством {г/ = 0}.
Расслоенной эквивалентностью производящих семейств гиперповерхностей Г] и Г2 в пространстве расслоения Rh+l— называется расслоенный диффеоморфизм (х, q) >~* (h(x, q), qp(<7)), переводящий Гі в Г2. Пусть Гс:М— гладкая гиперповерхность с простым уравнением / = 0. Удвоением M с ветвлением вдоль Г называется гиперповерхность в прямом произведении RxM с уравнением u2 = f(u), мЄR. В комплексном случае удвоение — разветвленное вдоль Г двулистное накрытие М. Вещественый тип удвоения зависит от выбора стороны Г. Два семейства гиперповерхностей во вспомогательных расслоениях с общей базой называются стабильно расслоенно эквивалентными, если из них послойными удвоениями получаются расслоенно эквивалентные семейства.
