Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Симплектическая геометрия " -> 34

Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия — Наука, 1985. — 136 c.
Скачать (прямая ссылка): simplekticheskayageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 56 >> Следующая


Свойства симплектизации. А Вложение L<l.T*M и проекция L-^-M устанавливают взаимно однозначное соответствие между контактоморфизмами многообразия M и симплекто-морфизмами многообразия L, коммутирующими с действием группы Rx.

Б. Проекция симплектизации L-+M задает взаимно однозначное соответствие между Rx-HHBapnaHTHbiMH («коническими») лагранжевыми подмногообразиями в L и лежандровыми подмногообразиями в М.

В. Композиция проекции L-+M и лежандрова расслоения М—+В определяет Йх-инвариантное лагранжево расслоение L-+B, и обратно. Используя Rx-HHBapnaHTHyro версию теоремы Дарбу для лагранжевых расслоений, отсюда легко вывести теорему Дарбу для лежандровых расслоений.

Г. Слои лагранжева расслоения несут каноническую аффинную структуру (см. п. 4.2, гл. 2). Вместе с Rx^eflcTBneM на пространстве симплектизации это позволяет ввести в слоях лежандрова расслоения каноническую проективную структуру. Явным образом эта проективная структура описывается так. Гиперплоскость контактного поля в точке хбМ содержит касательное пространство к слою расслоения я : М—+В, проходящему через X и, следовательно, проектируется в контактный элемент на В, приложенный в точке я(х). Мы получаем локальный контакто-морфизм М^*-РТ*В, отображающий лежандровы. слои в слои.

Следствие. Лежандрово расслоение с компактным слоем канонически контактоморфно проективизованному кокасатель-ному расслоению базы либо его послойному накрытию, т. е. сферизованному кокасательному расслоению, если размерность слоя больше единицы (в случае одномерного слоя различных накрытий — счетное число).

2.2. Алгебра Ли инфинитезимальных контактоморфизмов. Векторные поля на контактном многообразии, локальные потоки которых сохраняют контактную структуру, называются контактными векторными полями. Такие поля, очевидно, образуют подалгебру Ли алгебры Ли всех векторых полей на контактном многообразии.

Следующим образом определим симплектизацию контактного векторного поля: это векторное поле на симплектизации контактного многообразия, поток которого есть симплектизации потока исходного контактного поля.

Теорема. Симплектизации контактных векторных полей задает изоморфизм алгебры Ли таких полей и алгебры Ли локально гамильтоновых Rx-HHBapnaHTHbix векторных полей на симплектизации контактного многообразия. Гамильтониан

6*

83 такого поля прибавлением константы можно сделать однородным степени 1.

Предположим теперь, что контактная структура на многообразии задается глобально определенной дифференциальной 1-формой а. Контактная форма а определяет сечение расслоения L-+M контактных функционалов. Таким образом, существование формы а равносильно тривиальности этого расслоения. Коль скоро сечение выбрано, оно задает взаимно однозначное соответствие между однородными степени 1 гамильтонианами на L и функциями на Af.

Определение. Контактным гамильтонианом контактного векторного поля на M называется функция на М, равная в точке X значению однородного гамильтониана симплектизации этого векторного поля на контактном функционале а|х, рассматриваемом как точка слоя над х в расслоении L->M.

Приведем координатные формулы для контактного поля Vk функции К. Пусть а = du—pdq (мы опускаем знак суммы). Тогда (в обозначениях dK = Kudu + KPdp + Kqdq)

Vk= (К-рКР)д/ди+ (Kq+pKu)d/dp-KPd/dq.

Следствия. 1. Контактный гамильтониан К контактного поля V равен значению формы а на этом поле: K=Wct-

2. Соответствие V >-*irа взаимно однозначно отображает пространство контактных полей на пространство гладких функций. В частности, тривиальность расслоения L-*-M влечет глобальную гамильтоновость всех Кх-инвариантных локально гамильтоновых полей на L.

Введенная таким образом структура алгебры Ли в пространстве гладких функций на M называется скобкой Лагранжа. Явное описание этой операции выглядит так. Контактный диффеоморфизм, сохраняя контактную структуру, умножает форму « на обратимую функцию. Поэтому мы можем контактному гамильтониану К сопоставить новую функцию Фк по правилу Lvkа = Ф*-сс. Тогда скобка Лагранжа {/*", G] двух функций примет вид \F, Q\=(LvfG-LvaFFya-Gyp)^. В прежних координатных обозначениях

Ф F=Fa,

[F, G\ = FGa — FuG — p (FpGa -FaGp)-FpGg+ FqGp, откуда, конечно, следует приведенная инвариантная формула для скобки Лагранжа. Из определения скобки Лагранжа вытекает неочевидное само по себе утверждение, что стоящее в правой части выражение удовлетворяет тождеству Якоби.

Скобка Лагранжа не задает пуассоновой структуры (§ 3, гл. 2), поскольку не удовлетворяет правилу Лейбница. Назовем структурой Ли на многообразии билинейную операцию [,] в пространстве гладких функций, которая задает в этом, пространстве структуру алгебры Ли и обладает свойством локально-

84" сти, т. е. [/, g] I1 зависит лишь от значений функций /, g и их частных производных любого порядка в точке х. Можно показать [16], что многообразие Ли канонически разбивается на гладкие симплектические и контактные многообразия. Этот результат — обобщение теоремы о симплектических слоях для пуассоновых многообразий. Аналоги других свойств пуассоно-вых структур (трансверсальные структуры, линеаризация и т. п.) для структур Ли не изучены.
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed