Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Проиллюстрируем этот подход на примере задачи Эйлера о притяжении точки на плоскости двумя неподвижными центрами. Пусть Г\, г2 — расстояние от движущейся точки до центров Оь O2 (рис. 31). Гамильтониан задачи имеет вид (рх2 + ру2)12—• —k(l]r1 + l/r2). Перейдем к эллиптическим координатам г]) на плоскости: l = rx + r2, х\ = Г\—г2. Линии уровней функции г] — ортогональные друг другу семейства кривых—эллипсов и гипербол с фокусами Ou O2. В канонических координатах (Рь Рю і, л) на T*R2 гамильтониан (после некоторых вычислений) примет вид:
і о„2 4с'-л' Akl
В уравнении Гамильтона—Якоби
ідиIdlf (?2-4с2) +(диїдц) (4с2 —л2) =h (f-r\2)+2kl мы можем разделить переменные, полагая
(du/dl)2 (I2 - 4с2) — 2kl —hl* = %, (du,I дц)2 (4c2 — ri2) + Alf = — X.
Отсюда находим двупараметрическое семейство решений уравнения Гамильтона — Якоби в виде
иф. X. Ь j/^ІЩр,=+
90" Стремление извлечь из подобного рода формул явные выражения для траекторий гамильтоновых систем привело Яко-би к проблеме обращения гиперэллиптических интегралов, успешное решение которой составляет сегодня одно из лучших достижений алгебраической геометрии.
Глава 5
ЛАГРАНЖЕВЫ И ЛЕЖАНДРОВЫ ОСОБЕННОСТИ
В этом разделе изложены основы математической теории каустик и волновых фронтов. Классификация их особенностей связана с классификацией правильных многогранников. В доказательства вносят вклад теория критических точек функций, группы, порожденные отражениями, группы и алгебры Ли. Возможно, это объясняет, почему элементарные по форме конечные результаты не были получены еще в прошлом веке.
§ 1. Лагранжевы и лежандровы отображения
Так называются конструкции, формализующие на языке симплектической геометрии понятия каустики и волнового фронта геометрической оптики.
1.1. Фронты и лежандровы отображения. Лежандровым отображением называется диаграмма, состоящая из вложения гладкого многообразия в пространство лежандрова расслоения в качестве лежандрова подмногообразия и проектирования пространства лежандрова расслоения на базу. Допуская вольность речи, мы будем называть лежандровым отображением композицию этих отображений. Образ лежандрова отображения называется его фронтом.
Пример ы. А. Нормальным отображением называется отображение, сопоставляющее каждой точке ориентированной гиперповерхности в евклидовом пространстве конец единичного вектора нормали в этой точке. Образ нормального отображения называется эквидистантой (ср. п. 3.3, гл. 4). Более общо, пусть В — риманово многообразие, Xc~В — гладкое подмногообразие. Поток контактного гамильтониана #=||р|| в контактном пространстве ST*B трансверсально ориентированных контактных элементов переводит (за время t) лежандрово подмногообразие A0 таких элементов, касательных к X, в лежандрово подмногообразие А(. Проекция At на базу В есть эквидистанта подмногообразия X — множество концов отрезков геодезических (экстремалей лагранжиана ||р||) длины t, выпущенных из X по нормали. Таким образом, нормальное отображение — лежандрово, эквидистанта является его фронтом.
91" Б. Проективная двойственность. Тангенциальным отображением называется отображение, сопоставляющее каждой точке гиперповерхности в проективном пространстве гиперплоскость, касательную в этой точк?. Рассмотрим в произведении PX Р* проективного пространства и двойственного к нему подмногообразие F пар (р, р*), удовлетворяющих условию инцидентности: точка р^P лежит в гиперплоскости р*сгР, а также подмногообразие F*, выделяемое двойственным условием: точка /э*бР* лежит в гиперплоскости pa.Р*.
I0 Два условия инцидентности совпадают: F* = F.
Проекция F-+ P (F*-»-P*) является лежандровым расслоением многообразия контактных элементов F=PT*P (F* = PT* Р* соответственно).
2° Две контактные структуры в F = F* совпадают.
Это следует из 1° и определения контактной структуры в РТ*В.
Тангенциальное отображение — это проекция лежандрова подмногообразия Л в РТ*Р, образованного контактными элементами подмногообразия X в Р, на базу второго лежандрова расслоения рт*Р*-+Р*. Поэтому тангенциальное отображение гладкой гиперповерхности лежандрово. Его фронт X* в Р* называется двойственной гиперповерхностью.
3° Лежандровы подмногообразия Л и Л* совпадают (рис. 32).
Рис. 32
Действительно, лежандрово многообразие определяется своей проекцией на базу лежандрова расслоения.
Следствие. (X*)* = J.
В. Преобразование Лежандра. Рассмотрим два лежандро-вых расслоения стандартного контактного пространства R2n+1 1-струй функций в Rn: {и, р, q) ^ (и, q) и (и, р, q) н* (pq—u, р).
Проекция 1-графика функции u=S(q) на базу второго расслоения задает лежандрово отображение (и, q) (pq—S(q)> dS/dq). В случае, когда функция 5 выпукла, его фронт снова является графиком выпуклой функции v = S*(p)—преобразованием Лежандра функции S (ср. п. 1.2, гл. 3).
Фронты лежандровых отображений, вообще говоря, не являются гладкими. Задача классификации особенностей фронтов
92" сводится к изучению лежандровых особенностей (т. е. особенностей лежандровых отображений). Лежандровы особенности общего положения отличаются от особенностей общих отображений л-мерных многообразий в п +1 -мерные. Так, проекция общей пространственной кривой на плоскость имеет своими особенностями лишь точки самопересечения, в то время как проекция общей лежандровой кривой в лежандровом расслоении имеет еще точки возврата.
