Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Интегральные подмногообразия размерности п в 2HjrX-мерном контактном многообразии называются лежандровыми. Гладкое расслоение контактного многообразия, все слои которого лежандровы, называется лежандровым расслоением.
Диффеоморфизмы контактных многообразий, сохраняющие контактную структуру, мы будем называть контактоморфиз-мами.
75"Теорема Дарбу для контактных многообразий. Контактные многообразия одинаковой размерности локально контакто-морфны.
Следствие. В окрестности каждой точки контактного 2п+1-мерного многообразия существуют координаты (z,q\,... . . . , qn, Pi,--- ,Рп), в которых контактная структура имеет вид
dz = Iphdqk.
Действительно, dz = Iphdqk—контактная структура в R2n+1. Мы будем называть эту структуру стандартной, а координаты (z, р, q) — контактными координатами Дарбу.
Теорема Дарбу для лежандровых расслоений. Лежандровы расслоения контактных многообразий одинаковой размерности локально изоморфны, т. е. существует локальный контактомор-физм пространств расслоений, переводящий слои в слои.
Следствие. В окрестности каждой точки пространства лежандрова расслоения существуют контактные координаты Дарбу (z, q, р), в которых расслоение задается проекцией (г, q, ру* (г, q).
Действительно, слои (z, і?) =cortst — лежандровы подпространства стандартного контактного пространства.
1.2. Примеры. А. Проективное пространство. Пусть V— 2гс+2-мерное симплектическое линейное пространство, P(V) — его проективизация. P(K) следующим образом наделяется контактной структурой: гиперплоскость контактной структуры в точке /бP(У) задается гиперплоскостью P(Я) CP(V), проходящей через I, где Я — косоортогональное дополнение к прямой JcrV. В координатах Дарбу (qo,...,qn, Po, ¦ ¦ ¦ , рп) на V и аффинной карте ^o=I на P(V) эта структура имеет вид dp0 = Iphdqh—qkdpk, k^l, откуда следует ее максимальная неинтегрируемость. Лежандровы подпространства в P(V)—это проективизации лагранжевых подпространств в V.
Введенная в P(V) контактная структура задает изоморфизм между P(V) и двойственным проективным пространством P(V*) гиперплоскостей в P(V), при котором каждая точка лежит в соответствующей ей гиперплоскости. Обратно, каждый изоморфизм Р2и+) И-P*2"+1 с таким свойством инцидентности задается симплектической структурой в подлежащем векторном пространстве и, следовательно, определяет контактную структуру в P2"+1. Действительно, изоморфизм P(V) и P(V*) поднимается до изоморфизма V и V*, т. е. невырожденной билинейной формы на V; сформулированное условие инцидентности равносильно кососимметричности этой формы.
Б. Многообразие контактных элементов. Контактным элементом на многообразии М, приложенным в данной точке, называется гиперплоскость в касательном пространстве в этой точке. Все контактные элементы на M образуют пространство РТ*М проективизованного кокасательного расслоения. Следующее правило определяет контактную структуру на РТ*М\ век-
76"тор скорости движения контактного элемента принадлежит гиперплоскости контактного поля, если вектор скорости точки приложения контактного элемента принадлежит самому контактному элементу (рис. 25). В координатах Дарбу (q0,...,qn, Po, ---,Pn) на Т*М и аффинной карте ро=1 на РТ*М эта структура задается обращением в нуль формы действия: dq0-\-+Pidql+ ... +pndqn = 0:
Рис. 25
Пусть X—гладкое подмногообразие в М. Рассмотрим множество L(X) контактных элементов на М, приложенных в точках X и касающихся X. L(X) —лежандрово подмногообразие в РТ*М. В частном случае, когда X — точка, L(X) —проективное пространство всех контактных элементов на М, приложенных в этой точке. Таким образом, расслоение PT*М-*-М — лежандрово.
В. Пространство 1-струй функций. 1-струя гладкой функции / в точке X (обозначение jx]f) —это (х, f(x), dxf). Пространство /1M = RxT^M 1-струй функций на многообразии M имеет контактную структуру du = a, где и — координата на оси R значений функций, a = ~Lphdqh—1-форма действия на Т*М. 1-график функции / (обозначение /'/) состоит из 1-струй функции во всех точках. jlf — лежандрово подмногообразие в J1M. Проекция J1M^-RxM вдоль слоев кокасательного расслоения многообразия M — лежандрово расслоение.
Аналогично определяются контактная структура и лежандрово расслоение пространства 1-струй сечений одномерного векторного расслоения над M (не обязательно тривиального) над пространством этого расслоения.
Г. Фазовое пространство термодинамики. Процитируем начало статьи Гиббса (J. W. Gibbs) «Графические методы в термодинамике жидкостей» [43]: «Мы рассмотрим следующие величины: V — объем, р — давление, t — температура (абсолют-
77"ная), є — энергия, rj— энтропия данного тела в некотором состоянии, а также W — работа, совершаемая телом при переходе из одного состояния в другое, и H— тепло, получаемое телом при этом переходе. Эти величины подчиняются соотношениям, выражаемым следующими дифференциальными уравнениями: ...de=dH—dW, dW = pdv, dH = tdr\. Исключая dW и: dH, получим
de = tdf]—pdv. (1)
Величины v, p, t, є и т] определены, если задано состояние тела, и поэтому их можно назвать функциями состояния тела. Состояние тела в том смысле, в котором этот термин применяется в термодинамике жидкостей, допускает существование двух независимых вариаций, так что между пятью величинами V, р, t, є и г) существуют соотношения, выражаемые тремя конечными уравнениями, которые для разных веществ, вообще говоря, различны, но никогда не противоречат дифференциальному уравнению (1)».