Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
В нашей терминологии состояния тела образуют лежандро-ву поверхность в пятимерном фазовом пространстве термодинамики, снабженном контактной структурой (1).
1.3. Геометрия подмногообразий контактного пространства. Подмногообразие контактного многообразия несет индуцированную структуру. Локально эта структура задается ограничением определяющей 1-формы на его касательное расслоение. Формы, получаемые друг из друга умножением на необращающуюся в нуль функцию, задают одну и ту же индуцированную структуру. Так определенная индуцированная структура тоньше, чем просто поле касательных подпространств, высекаемое на подмногообразии гиперплоскостями контактной структуры. Например, контактная структура du = pdq индуцирует на кривых и = р—?7 = 0 и u = p—q2 = Q не диффеоморфные структуры в окрестности точки 0.
Примеры. 1) В окрестности общей точки четномерного подмногообразия общего положения в контактном пространстве существует система координат Х\,. .. , xk, t/u ¦ ¦ ¦ , Уи, в которой индуцированная структура имеет вид dyt -\-x2dy2-\- . . . . . . -{-xhdyh = 0. Необщие точки образуют множество коразмерности ^2.
2) В окрестности общей точки нечетномерного подмногообразия в контактном пространстве индуцированная структура контактная, а в окрестности точек некоторой гладкой гиперповерхности — приводится к одной из двух (не эквивалентных) нормальных форм ±du2-\-(\-\-x\)dyx-srx2dy2-\-... ...+xkdyh = 0 [58].
Индуцированная структура определяет «внешнюю» геометрию подмногообразия, по меньшей мере локально:
78" А. Относительная теорема Дарбу для контакти ыхструкту р. Пусть N — гладкое подмногообразие многообразия Ж, Yo. Yi-Две контактные структуры, совпадающие на TN. Тогда для любой точки х в N существует диффеоморфизм U0-^U1 окрестностей точки х в М, который тождественна Nn^0U переводит Yok0 в Yik-
В частном случае N = {точка} получаем теорему Дарбу для контактных многообразий п. 1.1.
Дифференциальную 1-форму на многообразии, задающую на нем контактную структуру, будем называть контактной формой. Контактная форма а определяет поле направлений — поле ядер 2-формы da. Так, форме du—Hphdqh отвечает поле направлений д/ди. Назовем контактную форму а трансверсальной к подмногообразию, если поле ядер формы da нигде его не касается.
Б. Относительная теорема Дарбу для контактных форм. Пусть «о и Ki—две контактные формы на многообразии М, трансверсальные к подмногообразию N, совпадающие на TN и лежащие в одной связной компоненте множества контактных форм с этими свойствами. Тогда существует диффеоморфизм окрестностей подмногообразия NbM, тождественный на N и переводящий а\ в осо.
Следствие. Контактная форма локально приводится к виду du—Iipkdqh.
Переходим к доказательству теорем А и Б.
Лемма. Теорема А следует из теоремы Б.
Можно считать, что M = R2n+1, х = 0, N — линейное подпространство в М, Yo и Yi задаются контактными формами а0 и си соответственно. Умножением Cti на обратимую функцию добьемся совпадения а0 и <ц на TN и умножением форм а0 и аі на одну и ту же обратимую функцию сделаем их трансвер-сальными по отношению к N в нуле.
Существует тождественное на N линейное преобразование пространства М, переводящее G0|ж в <ц|ж и dxcto в dxai. Действительно, линейным преобразованием А : М-*~М переведем CtoU в ai U и кегжб?ао в kerxdai, причем так, чтобы лА |n=a|jv> где ix : iW-»-kerxai — проекция вдоль kernen. Формы dxa0 и dxa\ задают на кегжси две симплектические структуры, совпадающие на я(N). Их можно отождествить линейным преобразованием, тождественным на kernet; и на n(N) (ср. § 1, гл. 1). Поскольку NczkeTxdaiQn(N) есть график функции ai IJV) то результирующее преобразование обладает требуемыми свойствами.
Теперь fao+(l—t)a і, fG[0, 1]—семейство контактных форм, совпадающих на TN и трансверсальных по отношению к N в точке х, а следовательно, и в некоторой ее окрестности. Лемма доказана.
Доказательство теоремы Б. Следуя гомотопическому методу (см. п. 1.3, гл. 2), мы приходим к уравнению
79" Lvpt -\-dat/dt = 0,
где at — гладкое семейство трансверсальных к N контактных форм, совпадающих на TN. Это уравнение мы хотим разрешить относительно семейства векторных полей Vi, равных нулю на N.
Предоставим читателю следить за гладкостью дальнейших конструкций по t.
Контактная форма а задает тривиализацию расслоения kerfifa. Если а трансверсальна к N, мы можем считать, что окрестность многообразия NbM есть тривиальное расслоение RxP-*-А: (и,х)^х на интегральные кривые поля направлений кет da, где координата и в слоях выбрана так, чтобы
Ioidua =sl, Nс{0}х P-
Мы хотим представить 1-форму da/dt, равную нулю на TN, в виде суммы ?-j-e?/, где ? не зависит от du, ? JrvAi = O и / |дг = 0. После этого можно будет положить V-W — — (/~'тіуо)діди, где поле W не зависит от діди и определяется из уравнения iVda-f?=0.
Положим
а
& (и, х) = J [ід/ай (да/dt)] (?, х) dl, S6R.
u
Тогда ?F|/V=0 и daldt = f>' + dSF, где ?' не зависит от du. и ?'|rA^i=0. Используя относительную лемму Пуанкаре из п. 1.5 главы 2, мы можем представить ?' в виде ?' = ?+?№, где ?n / = + Ф удовлетворяют выдвинутым требованиям. Теорема Б доказана.
