Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Симплектическая геометрия " -> 26

Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия — Наука, 1985. — 136 c.
Скачать (прямая ссылка): simplekticheskayageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 56 >> Следующая


D = diag (d\,.. ., dn), dh = ?r lp(x)xh2dx, p(x) — плотность тела

в точке X= (хи .. . , хп). Обозначая через M оператор формы инерции, M : son-+son*, получаем для момента импульса M(ш) уравнение Эйлера M = ada*M. В матричном виде M(cd)=Do>+ !+cdo, и уравнение Эйлера имеет форму Лакса M=LM, со]. Полагая Mi. = M + KD2, (I)1 = (I)+ KD, получаем представление Лакса с параметром для уравнения Эйлера: Ml = IMx. coj. Это представление обеспечивает полную интегрируемость свободного вращения n-мерного твердого тела вокруг неподвижной точки. Инволютивность первых интегралов H^=iet(M + KD2 + \iE) можно доказать, опираясь на теорему о сдвиге аргумента из предыдущего пункта (см. [24]).

64 § 3. Гамильтоновы системы с симметриями

Описанная в п. 1.5 процедура понижения порядка гамильтоновой системы, инвариантной относительно гамильтонова потока, обобщается ниже на случай произвольной группы Ли симметрии.

3.1. Пуассоновские действия и отображения моментов.

Пусть группа Ли G действует на связном симплектическом многообразии (Al, ю) симплектоморфизмами. Тогда каждому элементу алгебры Ли g группы G отвечает локально гамильтоново векторное поле на М. Будем предполагать в дальнейшем, что все эти векторные поля имеют однозначные гамильтонианы. Выбирая такие гамильтонианы для базиса в д, получим линейное отображение Q-^C00(M), сопоставляющее элементу aQg его гамильтониан Ha. Скобка Пуассона {На, Hb) может отличаться от Hlajb] на константу: {На, Нь} = Н[а,ь\ +С (а, Ь).

Определение. Действие связной группы Ли G симплектоморфизмами на связном симплектическом многообразии называется пуассоновским, если базисные гамильтонианы выбраны так, что С (a, b) = 0 для всех а, бед.

Замечание. В общем случае функция С (а, Ь) билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству С ([а, &], с)+ + С({Ь, с], a)+C(lc, a], Ь) — 0, то есть является 2-коциклом алгебры Ли д. Другой выбор констант в гамильтонианах Ha приводит к замене коцикла С на когомологичньш С'(а, b) = = C(a, b)+p([a, Ь]), где р — линейная функция на д. Таким образом, симплектическое действие определяет класс когомологий в H2(g, R) и является пуассоновским, если и только если этот класс нулевой. В последнем случае базис гамильтонианов, для которого С (а, &)= 0, определен однозначно с точностью до прибавления 1-коцикла р: g/[g, g]-^R и задает гомоморфизм алгебры Ли g в алгебру Ли функций Гамильтона на М.

Пуассоновское действие определяет отображение моментов Р:М-> д*, компоненты которого —базисные гамильтонианы: точке xQM отвечает функционал -P(X)Iagg =На(х).

Пуассоновское действие группы g на M при отображении моментов переходит в коприсоединенное действие группы д: P(gx) = Adg*/5; (х). На этом соображении основана классификация однородных симплектических многообразий см. статью А. А. Кириллова в данном томе).

Пусть связная группа Ли G действует на связном многообразии V, M = T*V — его кокасательное расслоение.

Теорема. Естественное действие группы G на M — пуассоновское (при указанном ниже выборе гамильтонианов).

Действительно, пусть Va — векторное поле на M одногіара-метрической подгруппы элемента aQG. Форма действия а на M

5—2538

65 G-инвариантна, поэтому LVaa = diVaa-{-iVada= 0. Это равенство означает, что H a = iVaa — гамильтониан поля va. Так как функции Ha линейны по импульсам, то {На, Hb) и Hia,я — тоже линейны и, следовательно, равны.

Следствие. Значение гамильтониана Ha на ковекторе р?Тх*V равно значению ковектора р на векторе скорости одно-параметрической подгруппы элемента аеg в точке х.

Отображение моментов в этом случае может быть описано следующим образом. Рассмотрим отображение G-*-M, определенное действием на фиксированную точку х^М. Прообраз 1-формы а на M при этом отображении—1-форма на G. Ее значение в единице группы и есть момент Р(х) точки х.

Примеры. 1) Группа SO3 вращений вклидова пространства R3 порождена однопараметрическими подгруппами вращений с единичной скоростью вокруг координатных осей qu q2, <73- Соответствующие гамильтонианы — компоненты вектора момента импульса: M\ = q2pz—q^p2 и т. д.

2) Действие группы левыми сдвигами в своем кокасатель-ном расслоении — пуассоновское. Соответствующее отображение моментов P : Т*0-+8* совпадает с правым сдвигом ковекторов в единицу группы.

3.2. Приведенное фазовое пространство и приведенные гамильтонианы. Предположим, что гамильтониан H на симплектическом многообразии M инвариантен относительно пуассо-новского действия группы G на М. Компоненты отображения моментов являются первыми интегралами такой гамильтоно-вой системы.

Обозначим через Mp слой над точкой рСд* отображения моментов P : M-*-д*. Пусть Gp — стабилизатор точки р в ко-присоединенном представлении группы G. Группа Gp действует на Mp. Факторпространство Fp = MvIGp называется приведенным фазовым пространством,.

Для того, чтобы Fp было гладким многообразием, нужны некоторые предположения. Например, достаточно предположить, что а) р — регулярное значение отображения моментов, так что Mp гладкое многообразие; б) Gp — компактная группа Ли; в) элементы группы Gp действуют на Mp без неподвижных точек. Условие б) можно ослабить: достаточно предположить, что действие Gp на Mp собственное, т. е. при отображении GpXMp->-MpXMp: (g, x)i-*(gx, х) прообразы компактов компактны. Например, действие группы на себе сдвигами всегда собственное.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed