Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Симплектическая геометрия " -> 27

Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия — Наука, 1985. — 136 c.
Скачать (прямая ссылка): simplekticheskayageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 56 >> Следующая


Предположим, что сформулированные условия выполнены.

Теорема ([1]). Приведенное фазовое пространство имеет естественную симплектическую структуру.

Кососкалярное произведение векторов на Fv определяется,, как кососкалярное произведение их прообразов при проекции Mp-^Fp, приложенных в одной точке слоя проекции. Можно

66" показать, что касательное пространство TxMp к слою отображения моментов и касательное пространство Tx(Gx) к орбите группы G являются косоортогональными дополнениями друг друга в касательном пространстве TxM и пересекаются по изотропному касательному пространству Tx(GpX) к орбите стабилизатора Gp. Отсюда следует корректность определения косо-скалярного произведения и его невырожденность.

Инвариантный гамильтониан H определяет приведенную функцию Гамильтона Hp на Mv. Соответствующее функции H гамильтоново векторное поле на M касается слоя Mv отображения моментов и инвариантно относительно действия группы Gp на МР. Поэтому оно определяет приведенное векторное поле Xp на Fp.

Теорема ([1]). Приведенное поле на приведенном фазовом пространстве гамильтоново с приведенной функцией Гамильтона.

Пример. В случае действия группы Ли левыми сдвигами на своем кокасательном расслоении слой Mp отображения моментов—правоинвариантное сечение кокасательного расслоения, равное р в единице группы. Стационарная подгруппа Gp совпадает со стабилизатором точки р в коприсоединенном представлении. Приведенное фазовое пространство Fp симплек-томорфно орбите точки р.

3.3. Скрытые симметрии. О скрытых симметриях говорят, когда гамильтонова система обладает нетривиальной алгеброй Ли первых интегралов, не связанной априори с каким-либо действием конечномерной группы симметрий. Обобщением отображения моментов в такой ситуации является понятие реализации пуассоновой структуры [75] — такой субмерсии M-+-N симплектического многообразия на пуассоново, при которой скобка Пуассона функций на N переходит в скобку Пуассона их прообразов на М. Очевидна следующая

Лемма. Субмерсия M-^N тогда и только тогда является реализацией, когда прообразы симплектических слоев ко-изотропны.

Пусть гамильтониан H : M-^-R коммутирует с алгеброй Ли si- функций, поднятых с N при реализации. Все такие гамильтонианы образуют алгебру Ли s4-', связанную с реализацией M-+N' другой пуассоновой структуры. Эта реализация называется дуальной к исходной и строится следующим образом. Рассмотрим распределение на M косоортогональных дополнений к слоям субмерсии M-+N. Оно порождается полями гамильтонианов из алгебры Ли зФ. Поэтому это распределение интегрируемо и касается коизотропных прообразов симплектических слоев. Проекция M-+-N' вдоль его интегральных многообразий (определенная по меньшей мере локально) является (по лемме) реализацией возникающей на N' пуассоновой структуры. Симплектические слои последней — приведенные фазовые прост-

5

67 ранства, на которых гамильтониан рассматриваемый

как функция на N', определяет приведенное движение.

Важный пример дуальных реализаций доставляют отображения моментов действий группы Ли левыми и правыми сдвигами на своем кокасательном расслоении.

В общем случае имеется тесная связь между пуассоновыми многообразиями NkN' дуальных реализаций. Например, у них общие функции Казимира — рассматриваемые как функции на М, они образуют подалгебру Имеется соответствие

между симплектическими слоями в N и N', взаимно однозначное, если прообразы этих слоев в M связаны: соответствуют друг другу слои с пересекающимися прообразами.

Теорема ([75]). Ростки трансверсальных пуассоновых структур к соответствующим симплектическим слоям дуальных реализаций антиизоморфны (т. е. изоморфны с точностью до знака скобки Пуассона).

Определим эквивалентность реализаций Mi-^-N, M2-^-N как коммутирующий с ними симплектоморфизм М\-*-М2 и стабилизацию реализации M-^-N как ее композицию с проекцией на сомножитель MXR2ft-^M произведения симплектических многообразий.

Теорема ([75]). Росток (R", 0) пуассоновой структуры в точке коранга г обладает реализацией />:(Rn+r, 0)->-(Rn, 0). Любая его реализация эквивалентна стабилизации Р.

Приведенная в [75] конструкция реализации P является нелинейным обобщением отображения моментов T*G-+q группы Ли G.

3.4. Пуассоновы группы. Скобка Пуассона двух функций на симплектическом многообразии, инвариантных при симплектическом действии группы Ли — снова инвариантная функция. Обращение этого утверждения неверно: из замкнутости алгебры инвариантов относительно скобки Пуассона не вытекает симплектичность действия. Это обстоятельство привело В. Г. Дринфельда к обобщению процедуры редукции гамильтоновых систем на более широкий класс действий.

Рассмотрим категорию, объекты которой — пуассоновы многообразия, а морфизмы — пуассоновы отображения, то есть гладкие отображения, переводящие скобку Пуассона функций в скобку Пуассона их прообразов. Произведение MxN пуассоновых многообразий наделяется пуассоновой структурой, для которой проекции на сомножители — пуассоновы отображения, а прообразы функций с разных сомножителей находятся в инволюции. Пуассоновой группой называется пуассоново многообразие, наделенное структурой группы Ли, для которой умножение GXG-+-G — пуассоново отображение, а обращение G-+-——.антиавтоморфизм (меняет знак скобки Пуассона). Пример — аддитивная группа коалгебры Ли.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed