Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема ([33]). Пусть задано пуассоновское действие тора TA = RA/ZA на компактном связном симплектическом многообразии M2". Тогда образ отображения моментов P : M2n-+-->(RA)* является выпуклым многогранником. Более того, образ множества неподвижных точек действия группы Tfe на M2n состоит из конечного числа точек в (Rft)* (называемых вершинами), и образ всего многообразия совпадает с выпуклой оболочкой множества вершин. Замыкание каждой связной компоненты объединения орбит размерности является симплек-тическим подмногообразием в M2n коразмерности ^2(k—г), на котором пуассоновским образом действует факторгруппа Tr = Tft/Tft_r тора Tft по стационарной подгруппе Tft_r. Образ этого подмногообразия в (Rh)* при отображении моментов (грань многогранника) является выпуклой оболочкой образа своих неподвижных точек, имеет размерность г и лежит в подпространстве размерности г, параллельном (целочисленному) подпространству ковекторов в (Rft)*, аннулирующих касательные векторы к стабилизатору Tft_r в алгебре Ли Rft тора Tft.
Замечание. В условиях теоремы слои отображения моментов связны. Выпуклость образа выводится отсюда индукцией по размерности тора.
Пример. Классическим источником этой теоремы являются неравенства Шура (I. Shur) для эрмитовых матриц: вектор диагональных элементов эрмитовой матрицы лежит в выпуклой оболочке векторов, полученных перестановками из набора ее собственных чисел (см. рис. 24).
Действительно, рассмотрим коприсоединенное действие группы SUn4l специальных унитарных матриц. Оно измоморфно присоединенному действию в алгебре Ли косоэрмитовых матриц со следом нуль. Пространство таких матриц умножением на V — 1
73"
Рис. 24
отождествляется с пространством эрмитовых (га + 1)Х(й + 1)-матриц со следом нуль, и мы можем считать, что в последнем пространстве задано действие группы SU„+1, орбиты которого— компактные симплектические многообразия. Максимальный тор Tn ={diag (еіфо, ..., etrtn)! I1Ik = O] группы SU„+1 действует пуассоновским образом на каждой такой орбите. Отображение моментов сопоставляет эрмитовой матрице (cofti) вектор ее диагональных элементов (юоо, ¦ • . , ©„„) в пространстве Rn = {(хо... ..., xn)|Sxfe = 0}. Неподвижными точками действия тора на орбите являются диагональные матрицы diag (Ао, . . . Л„) этой орбиты.
Другим специфическим свойством пуассоновских действий торов является формула интегрирования [41]. В простейшем случае пуассоновского действия окружности T1 на симплектическом многообразии (M2", ©) она имеет следующий вид. Пусть H : .M2n-^-R* — гамильтониан действия. С каждым его критическим значением р?R* свяжем целое число Е(р), равное произведению ненулевых собственных чисел, деленных на 2л, квад-
ратичной части тбЯ-1(р). Тогда
гамильтониана H в критической точке
С еішшп.
ч)
M
п\ ^ е'Ир
{,Itr
где сумма берется по всем критическим значениям. Преобразованием Фурье отсюда получается, что функция / (A) = j" со"/с?//
H=Il
(объем слоя над AGR*) — полином степени < /?„ — 1 на каждом интервале множества регулярных значений гамильтониана Н.
? качестве другого следствия формулы интегрирования находим выражение объема многообразия M через характеристики
множества неподвижных точек действия: |ю" = (—\)"п\ X
M
х2г,Е(р) и ряд соотношений на критические значения функ-р
ции Н: ^iPkIE (р)= 0 при О
74" Аналогичные результаты справедливы и для действий торов большей размерности. Предмет этого пункта оказался связанным с теорией вычетов, методом стационарной фазы, характеристическими классами, эквивариантными когомологиями, многогранниками Ньютона, торическими многообразиями, вычислением характеров неприводимых представлений групп Ли (см. [34], [49]).
Глава 4 контактная геометрия
Контактная геометрия — нечетномерный двойник симплектической. Связь между ними подобна соотношению проективной и аффинной геометрий.
§ 1. Контактные многообразия
1.1. Контактная структура. Говорят, что на гладком многообразии задано поле гиперплоскостей, если в касательном пространстве к каждой точке задана гиперплоскость, гладко зависящая от точки приложения. Поле гиперплоскостей локально определяется дифференциальной 1-формой а, не обращающейся в нуль: а I х = 0 — уравнение гиперплоскости поля в точке х. Поле гиперплоскостей на 2п-\- 1-мерном многообразии называется контактной структурой, если форма a/\(da)n невырождена. Независимость этого требования от выбора определяющей 1-формы а мгновенно проверяется. Смысл определения контактной структуры становится более ясным, если рассмотреть вопрос о существовании интегральных многообразий поля гиперплоскостей, т. е. таких подмногообразий, которые в каждой своей точке касаются гиперплоскости поля. Если через точку X проходит интегральная гиперповерхность, то аА^а|а; = 0. Поэтому контактную структуру можно назвать «максимально неинтегрируемым» полем гиперплоскостей. В действительности размерность интегральных многообразий контактной структуры на 2п+1-мерном многообразии не превосходит п. Для доказательства заметим, что форма dxa задает на гиперплоскости поля в точке х симплектическую структуру, в которой касательное пространство к интегральному подмногообразию, проходящему через х, является изотропным.
