Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
1.4. Вырождения дифференциальных 1-форм в Rn. Дифференциальная 1-форма общего положения в окрестности точки общего положения приводится диффеоморфизмом к нормальной форме Дарбу du + x^dyi+ ... + xmdym (n = 2m+l) или (l+xi)dyi+x2dy2+. ..+xmdym (n = 2m), а в окрестности точки на некоторой гладкой гиперповерхности — к нормальной форме Мартине ±du2 + (l+*i)dyl + x2dy2+ ... +xmdym (n = 2m + + 1) или (\±xx2)dyx + x2dy2+...+xmdym (n = 2m) ([58], cp. n. 1.3).
Теорема ([14]). Дифференциальная 1-форма в окрестности точки, где она не обращается в нуль, либо эквивалентна одной из нормальных форм Дарбу и Мартине (J. Martinet) либо ее класс эквивалентности не определяется никакой струей конечного порядка (т. е. конечным отрезком ряда Тейлора в рассматриваемой точке).
Замечание. Класс эквивалентности формы Дарбу определяется 1-струей, а формы Мартине — 2-струей.
Пример. Дифференциальная 1-форма общего положения на плоскости в окрестности точки, где она не обращается в нуль, приводится к виду F(x, y)dy и задает поле направлений
80" dy = 0. На интегральных кривых г/= Const этого поля рассмотрим семейство функций /•"(•, у). Если в рассматриваемой точке сливаются две критические точки функций семейства (рис. 26), мы можем выбрать параметр у так, чтобы сумма критических значений функций F(-, у) была равна 1. Тогда разность критических значений, рассматриваемая как функция параметра, будет функциональным инвариантом класса эквивалентности нашей 1-формы. В частности, конечное число коэффициентов ряда Тейлора не определяет класс эквивалентности.
Исследование 1-форм в окрестности особых точек см. в [18]. Оно приводит к следующей задаче. Пусть v — такое векторное поле в симплектическом пространстве со структурой со, что L„co = cd. Существует ли симплектоморфизм окрестности особой точки поля, переводящий V в его линейную часть в этой точке? Связь этой задачи с исходной такова. Дифференциал 1-формы а общего положения в четномерном пространстве в окрестности особой точки задает симплектическую структуру со. Для поля V, определенного условием IvCO = а, получаем Lvco = divco = da = co.
Теорема ([18]). Для того чтобы любое векторное поле v в симплектическом пространстве (R2", со) с заданной линейной частью V в особой точке, обладающее свойством Lvсо = со, было симплектически эквивалентно V, необходимо и достаточно, чтобы между собственными числами Я;, . . . , %2п поля V не было соотношений вида ImkXk=I, O^mkGZ., Sms^3.
Заметим, что как векторное поле v, так и его линейная часть являются суммой эйлерова поля E= (1/2)1хкд/дхк и гамильтонова поля с особой точкой в начале координат. Поэтому спектр поля V симметричен относительно Я= 1/2. 1-форма iEcо в координатах Дарбу имеет вид 2 {pkdqk—qkdph)j2.
Следствие. Гиперповерхность общего положения в контактном пространстве в окрестности точки касания с гиперпло-
X
Рис. 26
6—2538
81 скостью контактного поля подходящим выбором координат, в которых контактная структура имеет вид dt = *L(phdqh—qhdpk), приводится к нормальной форме t = Q(p, q), где Q — невырожденный квадратичный гамильтониан.
§ 2. Симплектизация и контактные гамильтонианы
Симплектизация сопоставляет контактному многообразию симплектическое многообразие на единицу большей размерности. Мы приводим описание алгебры Ли инфинитезимальных контактоморфизмов, основанное на свойствах этой операции. Обсуждается двойственная к ней операция контактизации.
2.1. Симплектизация. Пусть M — контактное многообразие. Рассмотрим пространство L одномерного расслоения L-*-M, слой которого над точкой х?М образован всеми ненулевыми линейными функциями на касательном пространстве TxM, обращающимися в нуль на гиперплоскости контактного поля в точке а:. Такие функции мы будем называть контактными функционалами. Задание L как подрасслоения в кокасательном расслоении Т*М эквивалентно введению контактной структуры на М. На многообразии L канонически определена дифференциальная 1-форма а: значение а на касательном векторе и, приложенном в точке равно значению контактного функционала ? на образе вектора v при проекции L-+M (рис. 27).
П р и м е р. Пусть M =
ос
і
У
Рис. 27
(L, da) называется зия М.
Мультипликативная
= РТ*В — проективизованное кокасательное расслоение с канонической контактной
структурой. Тогда L = T*B\ \В — кокасательное расслоение с выколотым нулевым сечением, а—1-форма действия на Т*В.
В общем случае 1-форма а на многообразии L определяет симплектическую структуру da. Ее невырожденность вытекает из приведенного примера, ввиду локальной единственности контактной структуры.
Определение. Симплектическое многообразие силтлектизацыей контактного многообра-
группа Rx ненулевых скаляров дейст-
вует на L умножением контактных функционалов на константы. Это действие превращает L-WW в главное расслоение. Симплектическая структура da однородна степени 1 относительно этого
82" действия. Обратно, главное Ях-расслоение N—+M симплектического многообразия с однородной степени 1 симплектической структурой задает контактную структуру на М, для которой N является симплектизацией.
