Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
68' В алгебре Ли g пуассоновой группы G определена линейная пуассонова структура — линеаризация пуассоновой структуры на G в единице. Поэтому в д* определена структура алгебры Ли (возникающая здесь двойная структура — это структура биалгебры Ли в смысле [13]). В приведенном выше примере она совпадает с исходной структурой алгебры Ли.
Действие пуассоновой группы G на пуассоновом многообра-зи M называется пуассоновым, если GxM^-M— пуассоново отображение. В случае действия группы G с тривиальной пуассоновой структурой на симплектическом многообразии M это условие равносильно симплектичности действия (но не его пу-ассоновости в старом смысле!)
Нетрудно проверить, что инварианты пуассонового действия пуассоновой группы на пуассоновом многообразии образуют подалгебру Ли в алгебре Ли функций на нем. То же самое справедливо для инвариантов связной подгруппы HczG, если ортогональное дополнение ї)хсгд* ее алгебры Ли ї)сд — подалгебра Ли в д*.
Для такой подгруппы на многообразии М/Н (если оно существует) имеется единственная пуассонова структура, при которой проекция M-^MfH — пуассоново отображение. На симплектических слоях в М/Н Я-инвариантный гамильтониан определяет приведенное движение. Отметим, что в описанной конструкции условие, наложенное на Н, не означает, что Я — пуассонова подгруппа — последнее справедливо, если I)-1- — идеал в
и*.
В качестве примера рассмотрим действие связной подгруппы Я аддитивной группы коалгебры Ли G сдвигами на G. Если H-lCzG* — подалгебра Ли, то линейная пуассонова структура в ее сопряженном пространстве и есть искомая пуассонова структура в пространстве орбит G/Я= (Ях)*.
Пуассоновы группы заняли важное место в теории вполне интегрируемых систем. Так, разобранный выше пример тесно связан с методом сдвига аргумента (п. 2.5). Это направление быстро развивается. Подробности можно найти в работах М. А. Семенова-Тян-Шанского, например, в [23].
3.5. Геодезические левоинвариантных метрик и уравнение Эйлера. Пусть на связной группе Ли G задана левоинвариант-ная риманова метрика. Она определяется своим значением в единице группы, т. е. положительно определенной квадратичной формой Q на пространстве д*. Левоинвариантный геодезический поток на группе определяет приведенный гамильтонов поток на каждой орбите коприсоединенного представления — приведенном фазовом пространстве. Приведенный гамильтониан этого потока совпадает с ограничением на орбиту квадратичной формы Q. Пусть fi:g*->-g — оператор квадратичной формы Q. Тогда приведенное движение точки Рбд* описывается уравнением Эйлера P = ad*u(P)P.
69" В частном случае G = SO3 получаем классическое уравнение Эйлера, описывающее свободное вращение твердого тела во внутренних координатах тела. В векторных обозначениях оно имеет вид P = PXQ, где Q — вектор угловой скорости, P — вектор момента импульса, связанный с вектором й линейным преобразованием — оператором инерции тела. Вид уравнения Эйлера имеют уравнения гидродинамики идеальной жидкости [1] и система уравнений Максвелла—Власова (J. С. Maxwell, [75]), описывающая динамику плазмы. В этих случаях группа G бесконечномерна.
Рассмотрим подробнее течение идеальной (т. е. однородной, несжимаемой, невязкой) жидкости в области DczR3. Пусть G — группа сохраняющих объемы диффеоморфизмов области D. Алгебра Ли g состоит из гладких бездивергентных векторных полей в D, касающихся границы области D. Кинетическая энергия Sv2/2dx потока с полем скоростей v — правоинвариантная риманова метрика на группе G. Течение идеальной жидкости — геодезическая этой метрики. Уравнение Эйлера может быть записано в виде д rot v/dt = [u, rot и], где [,]—коммутатор векторных полей. Заметим, что «оператор инерции» v ^ rot и взаимно однозначно отображает пространство g на пространство гладких бездивергентных полей в D при некоторых ограничениях на область D (достаточно, чтобы D была стягиваемой ограниченной областью с гладкой границей).
3.6. Относительные равновесия. Фазовые кривые системы с G-инвариантной функцией Гамильтона, проектирующиеся в положения равновесия приведенной функции Гамильтона на приведенном фазовом пространстве, называются относительными равновесиями.
Относительными равновесиями являются, например, стационарные вращения твердого тела, закрепленного в центре инерции, а также вращения тяжелого твердого тела с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси.
Теорема ([1]). Фазовая кривая системы с G-инвариантной функцией Гамильтона является относительным равновесием тогда и только тогда, когда она является орбитой однопарамет-рической подгруппы группы G в исходном фазовом пространстве. (Напомним, что действие группы Gp на Mp предполагается свободным.)
Пусть теперь G = R/Z — окружность. Предположим, что группа G действует на конфигурационном многообразии V без неподвижных точек. Приведенное фазовое пространство Fp пу-ассоновского действия G на T*V симплектоморфно скрученному кокасательному расслоению профакторизованного конфигурационного многообразия V/G. Редукция натуральной гамильтоновой системы на 7"* V с G-инвариантной потенциальной и кинети-
