Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
70" ческой энергией приводит к натуральной системе в магнитном поле (см. п. 1.2), равном нулю лишь при р = 0.
Пусть асимметричное твердое тело, закрепленное в точке, находится под действием силы тяжести или иной потенциальной силы, симметричной относительно вертикальной оси. Приведенное конфигурационное пространство в этом случае — двумерная сфера S2 = S03/S'.
Следствие 1. Асимметричное твердое тело в осесиммет-ричном потенциальном поле, закрепленное в точке на оси поля, имеет не менее двух стационарных вращений (при каждом значении момента импульса относительно оси симметрии).
Следствие 2. Осесимметричное твердое тело, закрепленное в точке на оси симметрии, имеет не менее двух стационарных вращений (при каждом значении момента импульса относительно оси симметрии) в любом потенциальном силовом поле.
Оба следствия основаны на том, что функция на сфере — потенциал приведенного движения — имеет не менее двух критических точек.
3.7. Некоммутативная интегрируемость гамильтоновых систем. Предположим, что гамильтониан H системы инвариантен относительно пуассоновского действия группы Ли G на фазовом многообразии М, и рбд* — регулярное значение отображения моментов P : М-^-д*.
Теорема. Если размерность фазового многообразия равна сумме размерности алгебры g и ее ранга, то множество Mv регулярного уровня общего положения отображения моментов неособо и имеет каноническую аффинную структуру. В этой аффинной структуре фазовый поток инвариантного гамильтониана H выпрямляется. Каждая компактная компонента связности множества Mp является тором, на котором фазовый поток условно периодичен.
Замечания. 1) Напомним, что рангом алгебры Ли называется коразмерность орбит общего положения в коприсо-единенном представлении.
2) Сформулированная теорема обобщает теорему Лиувилля о полной интегрируемости: в том случае группа G была коммутативной группой (Rn) ранга п, действовавшей на симплектиче-ском многообразии размерности 2rc = dim G + rk G.
Доказательство. Предположение dim M = dim G + rk G вместе с регулярностью общего значения р отображения моментов влечет, что dimMp = rkG = dim Gp, т. е. каждая связная компонента К уровня Mp является факторпространством (связной компоненты) группы Gp по дискретной подгруппе. По теореме Дюфло (п. 3.3, гл. 2) алгебра др (для общего рбд) коммутативна, т. е. K=RnZZh ив компактном случае является тором. Выпрямление потока легко выводится из инвариантности гамильтониана Н.
71" Пример. Рассмотрим кеплерову задачу о движении материальной точки в ньютоновском гравитационном потенциале неподвижного центра: Н = р212—1 /г, г — расстояние до центра, р — импульс. Гамильтониан H инвариантен относительно группы вращений SO3 и его поток вместе с действием группы SO3 образует пуассоновское действие четырехмерной группы G = RxSO3 ранга 2 в пространстве Г*R3 размерности 6 = 4 + 2. Поэтому кеплерова задача интегрируема в некоммутативном смысле. То же самое относится к любой натуральной системе в евклидовом пространстве R3 со сферически симметричным потенциалом: фазовый поток такой системы выпрямляется на двумерных совместных уровнях вектора момента импульса и энергии.
Как видно из формулировки теоремы (и из примера), движение в системе, интегрируемой в некоммутативном смысле, происходит по торам размерности меньшей половины размерности фазового пространства, то есть такие системы вырождены по сравнению с общими вполне интегрируемыми системами.
Теорема ([21]). Если гамильтонова система на компакт -hqm симплектическом многообразии M2n обладает алгеброй Ли g почти всюду независимых первых интегралов, причем dimg + rkg = 2re, то существует другой набор из п почти всюду независимых интегралов в инволюции.
Геометрически это означает, что инвариантные торы маленькой размерности rkg объединяются в торы половинной размерности.
Для алгебры Ли g первых интегралов на произвольном симплектическом многообразии утверждение теоремы вытекает из предложения: на пространстве д* существует d= (dimg— —rkg)/2 гладких функций в инволюции, независимых почти всюду на орбитах общего положения в д* (их размерность равна 2d).
Это предложение доказано (на основе метода сдвига аргумента, п. 2.5) для широкого класса алгебр Ли, включая полупростые (см. [22]); его справедливость для всех алгебр Ли позволила бы доказать аналогичную теорему для произвольных, а не только компактных фазовых многообразий.
3.8. Пуассоновские действия торов. Набор k функций в инволюции на симплектическом многообразии задает пуассоновское действие коммутативной группы Rft. Компактные орбиты этого действия неизбежно являются торами.
Здесь мы рассмотрим случай пуассоновского действия тора Tfe = Rft/Zfe на компактном симплектическом многообразии M2n. При k = ti геометрию такого действия можно рассматривать, как геометрию вполне интегрируемых систем, впрочем, довольно специального класса.
Пример. Гамильтониан H \ M-^- R на компактной симплектической поверхности задает пуассоновское действие адди-
72" тивной группы R. Если это действие в действительности является действием группы T1 = RZZ, то функция Я необходимо имеет своими критическими точками только невырожденные максимум и минимум, в частности, M2— сфера (рис. 23). Если это свойство функции Я выполнено, то ее произведение с подходящей не обращающейся в нуль функцией является гамильтонианом пуассоновского действия группы T1 на сфере.
