Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение. Пусть NaT — интегральное подмногообразие контактной структуры, не касающееся характеристики гиперповерхности Г, проходящей через точку x&N. Тогда объединение характеристик Г, проходящих через N в окрестности точки х,— снова интегральное подмногообразие.
Следствие 1. Если N — лежандрово, то характеристики, проходящие через N, лежат в N.
Это свойство характеристик можно также взять в качестве их определения.
Следствие 2. Если N имеет размерность п—1, то лежандрово подмногообразие в Г, содержащее окрестность точки X в N, существует и локально единственно.
3.2. Уравнение с частными производными первого порядка. Такое уравнение на n-мерном многообразии В задается гиперповерхностью Г в пространстве J1B 1-струй функций на В. Решением уравнения Г называется гладкая функция на В, 1-гра-фик которой (см. п. 1.2) лежит на Г. Согласно следствию 1 предыдущего пункта, 1-график решения состоит из характеристик гиперповерхности Г.
Пусть D — гиперповерхность в В, ф — гладкая функция на D. Решением задачи Коши (A. Cauchy) для уравнения Г с начальным условием (D, ер) называется решение уравнения Г, совпадающее с ф на D. Заметим, что начальное условие определяет (п—1)-мерное подмногообразие Ф = {(ф(х), je) |jcGZ)} в
87" пространстве J0B = RXB. Это подмногообразие, как и любое подмногообразие базы лежандрова расслоения, определяет лежандрово подмногообразие xVczJ1B, состоящее из всевозможных продолжений 1-струй функции ф на D до 1-струй функций на В: xF= {(и, р, х)\хв D, и=ц>(х), р \ t.\d = dxq>}. Пересечение Ar = Yfir называется начальным многообразием задачи Коши. Точка начального многообразия называется нехарактеристической, если в этой точке пересечение 1F с Г трансверсально (см. рис. 29). Заметим, что точки касания характеристик с начальным многообразием не удовлетворяют этому требованию.
Теорема. Решение задачи Коши в окрестности нехарактеристической точки начального многообразия существует и локально единственно.
1-график решения состоит из характеристик, пересекающих начальное многообразие в окрестности этой точки.
Координатные формулы. Пусть TcJ1(Rn) задается уравнением F(и, р, х)=0. Тогда уравнение характеристик имеет вид
Нехарактеристичность точки (и, р, х) начального многообразия эквивалентна тому, что вектор Fp (и, р, х) не касается D в точке х. Другими словами, нехарактеристичность позволяет найти из уравнения производную искомой функции в точках D по нормали к D после того, как производные по касательным направлениям и значение функции определены начальным условием ф.
3.3. Геометрическая оптика. Прототипом метода характеристик служила известная в геометрической оптике эквивалентность описаний распространения света в терминах лучей и фронтов. Движение «световых корпускул» по прямым в R" описывается гамильтонианом Н(р, q)=p2. Уравнение эйконала (du/dq)2=l описывает распространение коротких световых волн: его решение, равное нулю на гиперповерхности D в R™ — это оптическая длина кратчайшего пути от источника света D
(и,Р)
N
Рис. 29
X-=Fp, p=—F„ — pFu, u = pFp. до точки q. Проекция в Rn характеристик, составляющих 1-график функции и, — это нормальные прямые (лучи) к поверхностям уровня функции и (фронтам).
Решения уравнения эйконала могут быть многозначны, а фронты — иметь особенности. Например, при распространении света внутрь эллиптического источника на плоскости фронт приобретает полукубические точки возврата (рис. 30а). При движении фронта его особенности скользят по каустике (рис. 306). Каустика может быть определена как множество центров кривизны источника или как огибающая семейства лучей. В окрестности каустики свет концентрируется. Особенности волновых фронтов и каустик будут изучены в гл. 5.
3.4. Уравнение Гамильтона—Якоби. Уравнением Гамильтона—Якоби называется уравнение вида H (ди/дх, х)=0. Оно отличается от общего уравнения первого порядка тем, что не содержит явно искомой функции и. Интегрирование уравнений характеристик сводится, по-существу, к интегрированию гамильтоновой системы с гамильтонианом Н(р, q). Уравнение эйконала — частный случай уравнения Гамильтона—Якоби.
В механике очень эффективным оказался обратный методу характеристик путь интегрирования гамильтоновых систем сведением к решению уравнения Гамильтона—Якоби.
Теорема Якоби. Пусть u(Q, q)—решение уравнения Гамильтона—Якоби H(du/dq, q)=h, зависящее от п параметров Q= (h, Xi,..., Xn-i) и п переменных q. Предположим, что уравнение du(Q, q)]dq = p разрешимо относительно Q, в част-
Рис. 30
Рис. 31
89" ности, det(d2uldqdQ) ФО. Тогда функции Q(p, q) являются п инволютивными первыми интегралами гамильтониана Я.
Действительно, лагранжевы многообразия Aq с производящей функцией u(Q, ¦ ), Aq= {(р, q)\p = du(Q, q)/dq}, суть слои лагранжева расслоения над пространством параметров Q. Уравнение Гамильтона—Якоби означает, что ограничение Я на Aq равно А, т. е. что гамильтониан системы — функция от Q.
Успех в применении теоремы Якоби всегда связан с удачным выбором системы координат, в которой происходит разделение переменных в уравнении Гамильтона—Якоби. Именно таким способом Якоби проинтегрировал уравнение геодезических на трехосном эллипсоиде. Говорят, что в уравнении H(du/dq, q) = A переменная <7i отделяется, если дUjdq1 и q\ входят в Я лишь в виде комбинации q> (^uldqit q і). Тогда, пытаясь найти решение в виде U = Uiiql) +U(q2, ... , qn), придем к системе <p(dui/dqu qj) = Ku H (K1, Oujdq2, ¦ ¦ ¦ , dujdqn, q2,. . ., q„) = A. Если во втором уравнении переменные снова разделяются и т. д., то в конце мы придем к решению исходного уравнения вида «і (<71 Лі)+і + u2(q2, К\, K2) + . . . +un (qn, Xi, ¦ ¦ ¦, X„~u А) и сможем применить теорему Якоби.
