Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
1) Касательное пространство к орбите ростка f — это его градиентный идеал (df/dx), состоящий из всех ростков функций вида Ihi (х) dffdXi (Нд/дх — росток в нуле векторного поля, не обязательно равного нулю в начале координат).
2) Факторалгебра Q= R{x}/(df/dx) алгебры всех ростков функций в нуле по градиентному идеалу имеет размерность ц (и называется локальной алгеброй ростка ее можно пред-
102 : ставлять себе, как алгебру функций на множестве {x\df/dx=0} ИЗ |Х критических точек функции /, слившихся в точке 0).
3) Пусть е0(х)=1, еі(х),..., Єц-і(х)—функции (например— мономы), представляющие базис пространства Q. Тогда деформация
F(x, q)=f(x) + q^1e^](x) + . . . +qlel(x)+q0
/?-миниверсальна для ростка f (F — трансверсаль к касательному пространству орбиты ростка /).
4) Отбрасывание свободного члена qQ дает і?+-миниверсаль-ную деформацию ростка f.
5) Аналогичная конструкция для локальной алгебры Q = = R{x}/(/, fx) дает У-миниверсальную деформацию ростка f (Afx+cpf — общий вид касательного вектора к классу уравнений диффеоморфных гиперповерхностей).
Простые ростки A11, D11, E11 лежат в своем градиентном идеале: f?(fx). Действительно, нормальные формы теоремы п. 2.3 квазиоднородны (т. е. однородны степени 1 после выбора положительных дробных степеней аь ..., а„ для переменных JCi,..., Хп, пример: функция х2у + у*~1 квазиоднородна с весами CC1= (р,—2)/(2ц—2), ау=1 /(р.—1)). Поэтому f=2a,XidfIdXi. Отсюда вытекает, что /?-миниверсальные деформации простых ростков функций У-миниверсальны.
Пример. F(x, q) =xv-+l + qll-ix,x-1+ . ..+qix—/?+-минивер-сальная деформация ростка A11 a F(x, q)+qa — его У-минивер-сальная деформация: действительно {1,х,..., л:"-1}—базис пространства R{x}/(^). Для нормальных форм п. 2.3 простых особенностей функций мономиальный базис алгебры Q приведен в таблице 1.
Taomuja. 1
1,х, .. Ее У,х,(/г, ху, ху2
.,I^21X E7 U У, X, у2, X25X2I/
1 ,X, .. Ев у3,хуг,ху3
-,»Г1 Ff 1,
§ 3. Особенности волновых фронтов и каустик
Приведены классификационные результаты для особенностей волновых фронтов, каустик и их перестроек во времени.
103" Обсуждаются обобщения теории производящих семейств для фронтов и каустик, возникающих от источника с краем и в задаче об обходе препятствия (ср. гл. 3, п. 1.6).
3.1. Классификация особенностей волновых фронтов и каустик в малых размерностях. Фронтом типа A11, D11 или E11 называется росток гиперповерхности в р,-мерном пространстве базы F-миниверсальной деформации соответствующего простого ростка функции, точкам которой отвечают функции с особым нулевым уровнем.
Пример. Фронт типа All — это множество многочленов от одной переменной с кратными корнями в пространстве многочленов степени fj + 1 с фиксированным старшим коэффициентом и нулевой суммой корней. На рис. 40 изображены фронты A2 и A3-
Теорема. Волновой фронт общего положения в пространстве измерений устойчив и в окрестности любой своей точки диффеоморфен декартову произведению фронта типа Allt D11, E11 с ^=?/ на неособое многообразие размерности I—р, либо объединению таких трансверсальных фронтов (рис. 41).
Каустикой типа A11, D11*, ?„* называется росток гиперповерхности в ц—1-мерном пространстве базы /?+-миниверсаль-ной деформации соответствующего простого ростка функции, точкам которой отвечают функции с вырожденными критическими точками (т. е. проекция ребра возврата A2 фронта того же имени на базу і?+-миниверсальной деформации).
Пример. Каустика типа A11 диффеоморфна фронту типа Avl-X'. точке этой каустики отвечает многочлен степени ц-І-l, производная которого (то есть многочлен степени р.) имеет кратный корень.
Теорема. Каустика общего положения в пространстве /^5 измерений устойчива и в окрестности любой своей точки диффеоморфна декартову произведению каустики типа A11, D11, Etl с ц—I^i на неособое многообразие размерности I—1 ли-
104" бо объединению таких трансверсальных каустик. В частности, каустика общего положения в пространстве локально диффео-морфна одной из поверхностей рис. 41, 42.
Фронты и каустики типа All, Dli, E11 устойчивы во всех размерностях. Фронты (каустики) общего положения в пространствах размерности 7 (/^6) могут быть неустойчивы1'. Это связано с наличием непростых особенностей функций, первая из которых — P8 (см. рис. 39). Имеющаяся классификация унимодальных бимодальных критических точек функций [6] несет значительную информацию об особенностях фронтов (каустик) общего положения в пространствах /^ll (Z^lO) измерений. Тем не менее классификация особенностей каустик общего положения в R6 хотя бы с точностью до гомеоморфизмов пока отсутствует.
3.2. Краевые особенности. Предположим, что источник излучения— многообразие с краем (например, солнечный диск). В такой ситуации волновой фронт имеет две компоненты — фронт излучения края и фронт от самого источника (рис. 43). Каустика в этом случае имеет, вообще говоря, три компоненты — границы света и тени, тени и полутени, полутени и света.
Ласточкин хВост Пирамида,
