Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
108" означает их ортогональность). Соответствующая диаграмме группа Вейля порождается отражениями в гиперплоскостях, ортогональных базисным векторам решетки. Произвольная группа Вейля изоморфна прямому произведению неприводимых.
Примеры. Группа Вейля A1-это группа Z2, действующая отражением на прямой. Группы Вейля на плоскости — это (помимо ЛіФЛі) группы симметрий правильного треугольника, квадрата и шестиугольника (рис. 46). Диаграмме Cli отвечает группа симметрий (х-мерного куба, a Bli— двойственного ему ц-мерного «октаэдра», так что соответствующие группы Вейля совпадают, но связанные с ними решетки различны.
Рис. 46
Рассмотрим действие группы Вейля W в комплексифициро-ванном ц-мерном пространстве Vе . Оказывается, фактормного-образие Vе/W неособо и диффеоморфно Сц.
Пример. Для группы All перестановок корней многочлена степени |х+1 (с нулевой суммой) это основная теорема о симметрических многочленах: всякий симметрический многочлен однозначно представляется в виде многочлена от элементарных симметрических функций.
Рассмотрим все отражения в гиперплоскостях (зеркалах), лежащие в группе Вейля W. Образ зеркал при проекции Vе -+Vе/W (отображении Виета (F. Viete)) является особой гиперповерхностью и называется дискриминантом группы Вейля.
Пример. Дискриминант группы Вейля Ali — многообразие многочленов с кратными корнями в ц,-мерном пространстве многочленов степени р,+1 от одной переменной с фиксированным старшим коэффициентом и нулевой суммой корней.
Теорема. Комплексный фронт простого ростка диффео-морфен дискриминанту одноименной неприводимой группы Вейля.
Следствие. Страты комплексного фронта простого краевого ростка находятся во взаимно однозначном соответствии с поддиаграммами соответствующей диаграммы Дынкина (поддиаграмма получается выкидыванием некоторого числа вершин диаграммы вместе с примыкающими к ним ребрами, рис. 47).
109" Y-
/л
3Ai
о о о
I
I
ZA1
о о
О—О
X /
о А/) Рис. 47
Замечания. I) Особенность с фронтом G2 можно получить, как простую особенность в теории функций на плоскости, инвариантных относительно группы симметрий правильного треугольника.
2) Помимо групп Вейля, Платоновых тел, фронтов и каустик по диаграммам Дынкина классифицируются и другие объекты, например, комплексные простые группы Ли [24]. Мы уже указывали на эту связь в гл. 1, п. 4.3 на примере симплектической группы Sp (2р,, С)'—ей отвечает диаграмма C11. Прямые соответствия между различными такими классификациями до конца не установлены, хотя многие из них известны. Так, по простой комплексной алгебре Ли можно построить простую особенность поверхностей в C3 вместе с ее миниверсальной деформацией [37]. Общая причина универсальности А, В, С, D,E, F, G-классификации совершенно не ясна.
3.4. Перестройки волновых фронтов и каустик. Распространяющийся волновой фронт не во все моменты времени будет фронтом общего положения: в отдельные моменты времени он перестраивается. Исследование таких перестроек приводит к задаче об особенностях общего положения в семействе лежан-дровых отображений.
Рассмотрим семейство лежандровых отображений, зависящих от одного параметра t — времени. Объединение фронтов, соответствующих различным значениям t, в пространстве-времени (произведении базы на ось времени) мы будем называть большим фронтом.
Лемма. Росток большого фронта в каждой точке является ростком фронта лежандрова отображения в пространство-время.
Действительно, он задается производящим семейством Ft(x,q)~0 гиперповерхностей в дг-пространстве с (^,^-пространством-временем в качестве базы.
UO Эквивалентность перестроек фронтов — это диффеоморфизм пространства-времени, переводящий большие фронты друг в друга и сохраняющий функцию времени на этом пространстве с точностью до аддитивной константы: /^+const.
Пример. Специальные перестройки. Рассмотрим большой фронт S в пространстве Rm X Rli, являющийся произведением Rm на фронт простого ростка кратности [х. Выберем в качестве миниверсальной деформации простого ростка / ыономиальную деформацию вида / (*) +q^-x (л) + • • • гех (л) +<7ц_ь где Єц-i (х) представляет класс наивысшей квазиоднородной степени в локальной алгебре рсстка (например, для A^xix+1 + <7с-*-м_1 + ... • •. +<7ц_і). Обозначим через (T1,..., хт) косрдинаты в Rm и зададим сп ециальную перестройку функцией времени в Rm X Rtl вида t = + q о ± T12 + . . . + Tm2 либо t — T1.
Теорема. Перестройки в однопараметрических семействах общего положения фронтов в пространствах размерности /<С6 локально эквивалентны росткам специальных перестроек в нуле, причем p,+m = /-(-1 (рис. 48).
Идея доказательства. Рассмотрим накрытие (разветвленное) пространства многочленов вида л41+1 + + • ...+<7p,_i пространством их комплексных корней
{(лг0,..., Лц) I xI =о}- Коэффициенты qk оказываются тогда элементарными симметрическими поликомами корней: qk = ==(-.2-^0-•--^Vr Функция времени і (q) общего положения удовлетворяет требованию c = dt/dq010 =^=0. Это означает, что как функция на пространстве корней, функция времени имеет невырожденный квадратичный дифференциал с -Idxidxj, Hdxj-= 0. Теперь в случае перестройки голоморфного фронта типа A11 доказательство теоремы завершает
