Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
8*
115 функции времени в 4-мерном пространстве времени (большой фронт по терминологии п. 3.4) в окрестности любой точки диффеоморфен декартову произведению фронта одного из семейств A2', A4', A6', Di', D6', D8', E8', E8 на неособое многообразие.
Примеры. 1) Семейству A2 отвечают неособые точки фронта.
2) Линии самопересечения ласточкина хвоста — каустики і?+-версальной деформации ростка Ai — отвечают функции с двумя критическими точками типа A2. Так получается семейство Ai предыдущего списка. Его фронт q2~+q\bn диффеоморфен дискриминанту группы H2 симметрий правильного 5-уголь-ника.
3) На рис. 53а показана перестройка фронта в окрестности точки перегиба препятствия на плоскости. График функции времени (рис. 536) диффеоморфен дискриминанту группы #з симметрий икосаэдра0. Дискриминант #з есть фронт семейства D6'. Он диффеоморфен также фронту в окрестности таких точек на поверхности препятствия в пространстве, в которых геодезическая пучка имеет асимптотическое направление.
4) После срыва с поверхности препятствия в неасимптотическом направлении лучи могут фокусироваться вдали от него, образуя каустику. Перестройки фронта в окрестности неособой точки, точки на ребре возврата или вершины ласточкина хвоста такой каустики описываются семействами Di (хъ—y3-\-qiy+q2), E6 и E8'. Эти семейства получаются из jR-версальных семейств ростков A2, A3, Ai добавлением куба новой переменной. Такая операция превращает все критические точки функций исходного семейства в четнократные, но не меняет его фронт.
5) В классификации правильных многогранников (см. [36]) следом за пятиугольником и икосаэдром стоит 120-вершинник в четырехмерном пространстве. Его можно описать так. Группа Ли SU2 кватернионов единичной длины содержит бинарную группу икосаэдра (см. п. 2.4). Ее 120 элементов и есть вершины
о Другое описание: объединение касательных к кривой (t, t3, ts) в R3.
116" нашего многогранника в пространстве кватернионов. Дискриминант группы H4 симметрий этого многогранника диффеоморфен фронту семейства Es". В задаче об обходе препятствия этот фронт встречается как график функции времени в окрестности точки пересечения асимптотического луча с ребром возврата каустики вдали от поверхности препятствия1'.
Если мы обратимся теперь к классификации неприводимых групп Кокстера (Н. S. М. Coxeter) — конечных групп, порожденных отражениями, но не обязательно сохраняющих целочисленную решетку (см. [36]), то обнаружим, что среди волновых фронтов в различных задачах геометрической оптики нам встретились дискриминанты всех таких групп, за исключением групп симметрий правильных гс-угольников с п>6.
Глава 6
ЛАГРАНЖЕВЫ И ЛЕЖАНДРОВЫ КОБОРДИЗМЫ
Теория кобордизмов изучает свойства гладкого многообразия, не меняющиеся при его замене на другое многообразие той же размерности, которое вместе с первым образует край многообразия на единицу большей размерности (рис. 54). В этой главе многообразия и ограничиваемые ими пленки будут лаг-ранжевыми или лежандровыми подмногообразиями. Соответствующие теории кобордизмов отражают, например, глобальные свойства волновых фронтов, сохраняющиеся при перестройках2'.
§ 1. Индекс Маслова
Лагранжево подмногообразие фазового пространства описывает фазу коротковолнового колебания. Индекс Маслова сопоставляет кривым на лагранжевом подмногообразии целые числа. Эти числа входят в асимптотические выражения для реше-
'> Такой луч срывается с препятствия в параболической точке.
2> Начиная с § 2, мы вынуждены оставить всякую заботу о неискушенном читателе. В порядке компенсации в § 1 включено совсем элементарное изложение теории кобордизмов волновых фронтов иа плоскости.
117" ний волновых уравнений в коротковолновом пределе. В следующих параграфах индекс Маслова появится в роли простейшего характеристического класса теории лежандровых и лагранжевых кобордизмов.
1.1. Квазиклассическая асимптотика решений уравнения Шрёдингера. Рассмотрим уравнение Шрёдингера (Е. Schrodinger)
.iflW = -hZ+ VW* (1)
(h — постоянная Планка (М. Planck), Л — оператор Лапласа (P. S. Laplace) в R"), которому удовлетворяет амплитуда вероятности W(q,t) квантовомеханической частицы, движущейся в потенциале U.
Уравнению (1) отвечает классическая механическая система с гамильтонианом H = p2/2JrU (q) в стандартном симплектическом пространстве R2n. Начальному условию вида xViqyO) = = Ф(^)ехр(if(q)/h) (ф — финитная функция) отвечает функция ф на лагранжевом многообразии L в R2n с производящей функцией f : L = {(р, q)?R2n\p = fq}. Поток g* гамильтониана И определяет семейство лагранжевых многообразий Lt = g*L, которые при больших / могут, в отличие от L0, неоднозначно проектироваться в конфигурационное пространство Rn (рис. 55). Возникает семейство лагранжевых отображений (см. п. 1.2, гл. 5) конфигурационного пространства в себя Qt : Rn-^Rr'. Имеет место следующая асимптотическая формула для решения уравнения (1) с заданным начальным условием [19]. Пусть <7j — такие точки в Rn, что Qt(Qj) =Q, Xj = (pj, qi) — соответствующие точки Lj. Предположим, что якобианы \dQi/dq\q=qj отличны от нуля. Тогда при ft-*-О
