Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Симплектическая геометрия " -> 54

Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия — Наука, 1985. — 136 c.
Скачать (прямая ссылка): simplekticheskayageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 .. 56 >> Следующая


Не все классы когомологий универсальных комплексов порождают нетривиальные характеристические числа лагранжевых или лежандровых иммерсий. Например, число точек Л з на общей замкнутой лежандровой поверхности в /1Al2 всегда четно, поскольку точки Лз замкнутого волнового фронта общего положения попарно соединяются выходящими из них линиями

134" типа (AxAx) самопересечений волнового фронта. Рассмотрение точек пересечений различных стратов волновых фронтов приводит к новым характеристическим числам. Например, лежанд-ровыми характеристическими числами оказываются четности количеств точек (A1A2), (AxA4), (A2Ai), (AxA6), (A1A2A 4) на общих фронтах подходящей размерности. Перечисленные классы являются коциклами определенного в [9] универсального комплекса мультиособенностей. Из вычислений в этом комплексе получается много следствий о сосуществовании мультиособенностей. Например, на замкнутом фронте общего положения в J0M2 четно число (AxA2) точек протыкания фронта своим ребром возврата. Оказывается, произведение когомологических классов объемлющего фронт пространства, двойственных фронту и замыканию его ребра возврата, двойственно замыканию страта (AxA2). Отсюда вытекает сделанное утверждение, поскольку для открытого трехмерного многообразия /0M2 это произведение нулевое. Многомерные обобщения этого результата см. в [3].

Как уже отмечалось в § 1, класс Маслова A2 лагранжевой иммерсии в Т*Rn индуцируется при отображении Гаусса из образующей группы /Z1(A+).

Теорема. На ориентированном компактном лагранжевом подмногообразии в Т*R" характеристические классы A6 и P8 совпадают по модулю кручения с классами, индуцируемыми из утроенной образующей группы H5(A+) и произведения класса Маслова на эту образующую соответственно, а на неориентированном— характеристические классы A2, A3, A4, A5, A6, E7 совпадают с классами Штифеля—Уитни wx, w2, wxw2, wxw3, w2w3, wxw2wз соответственно.

Следствие. Взятое с учетом знаков число особенностей А б на лагранжевом ориентированном многообразии общего положения в T*R5 кратно трем.

В заключение отметим почти полный параллелизм начал иерархий вырожденных критических точек функций и «допустимых последовательностей» Стинрода (N. Steenrod) [73] (хх~^

X2^sb X3^

A2A3A4A5A6A7A8... 1 2 3 4 5 6 7 ...

D4D5D5D7D8... 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 ...

E6E7E8... ? 4,2 5,2 ...

P8... 4,2,1...

(число членов последовательности равно корангу особенности, сумма — коразмерности орбиты; нехватка E6 объясняется, быть может, соотношением Ав~Е6 в комплексе <й). ЛИТЕРАТУРА

Помимо цитированной литературы, в список включены классические труды и учебники по динамике [17], [38], [42], [43], [50], [56], [65], [66], [78], несколько современных монографий [30], [44], [48], [55], [71], [74], а также работы, относящиеся к совсем или почти не затронутым в обзоре, но связанным с его предметом вопросам — [7], [40], [53], [59], [64], [70], [73]. Сборники [67], [69] дают хорошее представление о направлениях нынешних исследований. Подробные изложения основ симплектической геометрии — с различных точек зрения — можно найти в [1], [48], а отдельных ее разделов — в [2], [6], [24]. Из библиографических источников по нашей теме отметим [30].

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. M.: Наука, 1974, 431 с.

2. —¦, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1978, 304 с.

3. —, Особенности систем лучей. Успехи мат. наук, 1983, 36, № 2, 77—147

4. —Особенности в вариационном исчислении. В сб. «Современные пробл. математики (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». M., 1983, 22, 3—55

5. —, Лагранжевы и лежандровы кобордизмы. Функц. анализ и его прил., 1980. 14, № 3, 1—13; № 4, 8—17

6. —, Варченко A. H., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1. M.: Наука, 1982, 304 с.

7. Варченко A. H., Гивенталь А. Б., Отображение периодов и форма пересечений. Функц. анализ и его прил., 1982, 16, № 2, 7—20

8. Васильев В. А., Характеристические классы лагранжевых и лежандровых иммерсий, дуальные к особенностям каустик и волновых фронтов. Функц. анализ и его прил., 1981, 15, № 3, 10—22

9. —, Самопересечения волновых фронтов и лежандровы (лагранжевы) характеристические числа. Функц. анализ и его прил., 1982, 16, № 2, 68—69

10. Галин Д. M., Версальные деформации линейных гамильтоновых систем. Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1975, 1, 63—74

11. Гельфанд И. M., Дорфман И. Я., Гамильтоновы операторы и классические уравнения Янга—Бакстера. Функц. анализ и его прил., 1982, 16, № 4. 1—9

12. —, Лидский В. Б., О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений. Успехи мат. наук, 1955, 10, № 1, 3—40

13. Дринфельд В. Г., Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл уравнений Янга — Бакстера. Докл. АН СССР, 1983, 268, № 2, 285—287

14. Житомирский М. Я; Конечно определенные ростки 1-форМ (О, Wlo=TfcO исчерпываются моделями Дарбу и Мартине. Функц. анализ и его прил., 1985, 19, № 1, 71—72
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed