Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Не все классы когомологий универсальных комплексов порождают нетривиальные характеристические числа лагранжевых или лежандровых иммерсий. Например, число точек Л з на общей замкнутой лежандровой поверхности в /1Al2 всегда четно, поскольку точки Лз замкнутого волнового фронта общего положения попарно соединяются выходящими из них линиями
134"типа (AxAx) самопересечений волнового фронта. Рассмотрение точек пересечений различных стратов волновых фронтов приводит к новым характеристическим числам. Например, лежанд-ровыми характеристическими числами оказываются четности количеств точек (A1A2), (AxA4), (A2Ai), (AxA6), (A1A2A 4) на общих фронтах подходящей размерности. Перечисленные классы являются коциклами определенного в [9] универсального комплекса мультиособенностей. Из вычислений в этом комплексе получается много следствий о сосуществовании мультиособенностей. Например, на замкнутом фронте общего положения в J0M2 четно число (AxA2) точек протыкания фронта своим ребром возврата. Оказывается, произведение когомологических классов объемлющего фронт пространства, двойственных фронту и замыканию его ребра возврата, двойственно замыканию страта (AxA2). Отсюда вытекает сделанное утверждение, поскольку для открытого трехмерного многообразия /0M2 это произведение нулевое. Многомерные обобщения этого результата см. в [3].
Как уже отмечалось в § 1, класс Маслова A2 лагранжевой иммерсии в Т*Rn индуцируется при отображении Гаусса из образующей группы /Z1(A+).
Теорема. На ориентированном компактном лагранжевом подмногообразии в Т*R" характеристические классы A6 и P8 совпадают по модулю кручения с классами, индуцируемыми из утроенной образующей группы H5(A+) и произведения класса Маслова на эту образующую соответственно, а на неориентированном— характеристические классы A2, A3, A4, A5, A6, E7 совпадают с классами Штифеля—Уитни wx, w2, wxw2, wxw3, w2w3, wxw2wз соответственно.
Следствие. Взятое с учетом знаков число особенностей А б на лагранжевом ориентированном многообразии общего положения в T*R5 кратно трем.
В заключение отметим почти полный параллелизм начал иерархий вырожденных критических точек функций и «допустимых последовательностей» Стинрода (N. Steenrod) [73] (хх~^
X2^sb X3^
A2A3A4A5A6A7A8... 1 2 3 4 5 6 7 ...
D4D5D5D7D8... 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 ...
E6E7E8... ? 4,2 5,2 ...
P8... 4,2,1...
(число членов последовательности равно корангу особенности, сумма — коразмерности орбиты; нехватка E6 объясняется, быть может, соотношением Ав~Е6 в комплексе <й).ЛИТЕРАТУРА
Помимо цитированной литературы, в список включены классические труды и учебники по динамике [17], [38], [42], [43], [50], [56], [65], [66], [78], несколько современных монографий [30], [44], [48], [55], [71], [74], а также работы, относящиеся к совсем или почти не затронутым в обзоре, но связанным с его предметом вопросам — [7], [40], [53], [59], [64], [70], [73]. Сборники [67], [69] дают хорошее представление о направлениях нынешних исследований. Подробные изложения основ симплектической геометрии — с различных точек зрения — можно найти в [1], [48], а отдельных ее разделов — в [2], [6], [24]. Из библиографических источников по нашей теме отметим [30].
1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. M.: Наука, 1974, 431 с.
2. —¦, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1978, 304 с.
3. —, Особенности систем лучей. Успехи мат. наук, 1983, 36, № 2, 77—147
4. —Особенности в вариационном исчислении. В сб. «Современные пробл. математики (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». M., 1983, 22, 3—55
5. —, Лагранжевы и лежандровы кобордизмы. Функц. анализ и его прил., 1980. 14, № 3, 1—13; № 4, 8—17
6. —, Варченко A. H., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1. M.: Наука, 1982, 304 с.
7. Варченко A. H., Гивенталь А. Б., Отображение периодов и форма пересечений. Функц. анализ и его прил., 1982, 16, № 2, 7—20
8. Васильев В. А., Характеристические классы лагранжевых и лежандровых иммерсий, дуальные к особенностям каустик и волновых фронтов. Функц. анализ и его прил., 1981, 15, № 3, 10—22
9. —, Самопересечения волновых фронтов и лежандровы (лагранжевы) характеристические числа. Функц. анализ и его прил., 1982, 16, № 2, 68—69
10. Галин Д. M., Версальные деформации линейных гамильтоновых систем. Тр. семинара им. И. Г. Петровского, 1975, 1, 63—74
11. Гельфанд И. M., Дорфман И. Я., Гамильтоновы операторы и классические уравнения Янга—Бакстера. Функц. анализ и его прил., 1982, 16, № 4. 1—9
12. —, Лидский В. Б., О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений. Успехи мат. наук, 1955, 10, № 1, 3—40
13. Дринфельд В. Г., Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл уравнений Янга — Бакстера. Докл. АН СССР, 1983, 268, № 2, 285—287
14. Житомирский М. Я; Конечно определенные ростки 1-форМ (О, Wlo=TfcO исчерпываются моделями Дарбу и Мартине. Функц. анализ и его прил., 1985, 19, № 1, 71—72