Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
44 Желая продемонстрировать суть метода, мы приведем набросок доказательства следующего утверждения.
Теорема. Пусть на стандартном симплектическом 2га-мер-ном торе задан периодически зависящий от времени гамильтониан. Тогда симплектическое преобразование тора за период потоком этого гамильтониана имеет хотя бы одну неподвижную точку. " -JtSSSfi,;. J
1°. Представляя I2n как факторпространство R2"/Z2" стандартного симплектического пространства R2", рассмотрим векторное пространство Q петель — гладких отображений R/Z->--J-R2" — с линейной структурой поточечного сложения и умножения на скаляры и евклидовой структурой j* (р2 + q2)/2dt.
R/Z
На пространстве Q введем функционал действия F = = f \{pdQ — qdp)/2 — Hdt\, где H (р, q, t) — заданный периоди-
R/Z
ческий гамильтониан с периодом 1. Различным критическим точкам функционала F: Q-^-R отвечают различные периодические траектории с периодом 1 потока гамильтониана H, т. е. различные неподвижные точки интересующего нас симплекто-морфизма.
2°. Градиент имеет вид XjF=-Jdldt-SjH,
где J: R2" -> R2" — оператор «умножения на ]/ — 1 », J (р, q) = = ( — <?, р). Мы рассматриваем отображение VF как возмуще ние линейного оператора A =—Jdjdt. Спектр оператора А есть 2лї, а собственное пространство с собственным числом К есть 2п-мерное пространство решений с периодом 1 линейной га-мильтоновой системы с гамильтонианом K(p2 + q2) /2. Разложение петли R/Z->R2ri по собственным функциям оператора А есть просто ее разложение в ряд Фурье (J. Fourier). Возмущение B = VH имеет ограниченный образ (||? (со) ||<С) и ограниченную норму: Ц-б(сйі)—?(co2) [|<o||coi—сої II -
3°. Представим пространство й в виде прямой суммы конечномерного пространства V, натянутого на «низкие гармоники» с частотой \K\<2D, и бесконечномерного пространства W «высоких гармоник». Уравнение VF = О разбивается на два: dF/dV = О и dF/dW = 0. Второе имеет вид Aw + PB (v + w)-О, где P — проектор й на W. Так как оператор —A~lPB(v + w) сжимающий, второе уравнение при каждом v имеет единственное решение w = W (и). Поэтому поиск экстремумов функционала F сводится к отысканию критических точек функции f(v) = = F(v, w(v)) на конечномерном пространстве.
4°. Постоянным петлям, образующим ядро оператора А, отвечает нулевое решение уравнения dF IdW=O7 поэтому функция / периодична на подпространстве таких петель. Таким образом, функция /, по-существу, определена на многообразии T2" X R?>o X RjucO- Ее поведение на бесконечности определяется
45 невозмущенным функционалом и имеет гиперболический характер (рис. 11), из чего следует наличие критических точек (например, множество точек, где значение функции меньше данного, претерпевает топологическую перестройку).
Рис. 11
Замечание. Дальнейший анализ этой конечномерной ситуации средствами, разработанными в теории Морса (М. Morse) [60], приводит к точной оценке числа неподвижных точек (>2п+1). Основное отличие приведенного рассуждения от стандартного формализма глобального вариационного исчисления состоит в том, что невозмущенный квадратичный функционал на пространстве петель не эллиптичен, а гиперболичен,
Глава 3
симплектическая геометрия и механика
Здесь рассмотрена связь симплектической геометрии с вариационным исчислением, в частности — с механикой Лагран-жа (J. L. Lagrange), дано геометрическое введение в теорию вполне интегрируемых систем и описана процедура понижения порядка гамильтоновых систем, обладающих непрерывной группой симметрий. Систематическое изложение вопросов классической механики см. в томе 3, теории интегрируемых систем — в статье Б. А. Дубровина, И. М. Кричевера и С. П. Новикова.
§ 1. Вариационные принципы
Движения механической системы суть экстремали подходящего вариационного принципа. С другой стороны, любая задача вариационного исчисления может быть сформулирована на языке симплектической геометрии.
46 1.1. Лагранжева механика. Натуральная механический система задается кинетической и потенциальной энергией. Потенциальная энергия — это гладкая функция на многообразии конфигураций (положений) системы, кинетическая энергия — это риманова метрика на конфигурационном многообразии, т. е. положительно определенная квадратичная форма на каждом касательном пространстве к многообразию конфигураций, гладко зависящая от точки приложения.
Пример. Система материальных точек в евклидовом пространстве имеет кинетическую энергию T = 2mferft2/2 и потенциальную энергию U = SVhiirh—ri), где Th — радиус вектор k-й точки, Vhi — потенциал попарного взаимодействия материальных точек, скажем, ньютонов гравитационный потенциал VkI (г) =—ymhmil\r\.
Из кинетической и потенциальной энергий составляется лагранжиан или функция Лагранжа L = T—U на пространстве касательного расслоения конфигурационного многообразия. Движение t*-*q(t) натуральной системы в пространстве конфигураций является экстремалью функционала
11
J L (q (t), q (t)) dt. (1)
to
Более общо, рассматривая произвольную функцию Лагранжа L: TM-+ R на касательном расслоении конфигурационного многообразия и называя движением экстремали функционала (1), получаем определение лагранжевой механической системы. Можно допустить также явную зависимость лагранжиана от времени. Экстремали функционала (1) локально описываются системой дифференциальных уравнений Эйлера—Лагранжа (L. Euler) (d/dt)dLldq = dLldq. Для системы материальных точек в евклидовом пространстве уравнения Эйлера—Лагранжа принимают вид системы уравнений Ньютона mftrft = —dU/drk. Таким образом, механика Лагранжа обобщает механику Ньютона, допуская к рассмотрению, например, системы материальных точек, стесненных голономными (жесткими) связями — конфигурационные многообразия таких систем уже не являются областями координатных пространств. В то же время лагранжев подход к механике позволяет считать ее частным случаем вариационного исчисления. Например, задача о «свободном» движении натуральной системы (U=0) равносильна описанию геодезического потока на конфигурационном многообразии с римановой метрикой T (см. п. 1.3).
