Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
42 ны и 2я-периодичны по у, причем g имеет на разных границах кольца разные знаки.
Доказательство этой теоремы принадлежит Дж. Д. Биркго-фу (G. D. Birkhoff). А. Пуанкаре удалось доказать ее лишь при некоторых ограничениях, но его метод менее специален, чем доказательство Биркгофа, и поддается обобщению. Рассуждение Пуанкаре основано на том, что неподвижные точки симплек-томорфизма .кольца — это в точности критические точки функции F (и, v) = J (fdv—gdu), где и= (X+x)j2, v = (Y+у)/2, правда в предположении, что якобиан д(и, v)jd(x, у) отличен от нуля. Это условие выполнено автоматически, если симплектоморфизм не слишком далек от тождественного.
Перенесение рассуждения Пуанкаре в общую симплектиче-скую ситуацию приводит к следующим понятиям и результатам.
Пусть M —¦ симплектическое многообразие. Симплектоморфизм Y : M-^M задается лагранжевым графиком TczMxM. Неподвижные точки у— это точки пересечения Г с графиком А тождественного симплектоморфизма. Трубчатая окрестность А в MxM имеет структуру лагранжева расслоения Т*А. Если симплектоморфизм у достаточно близок к тождественному, то он задается производящей функцией (вообще говоря, многозначной) лагранжева сечения ГсГ*А. Ее критические точки и неподвижные точки 7 совпадают.
Будем говорить, что симплектоморфизм у гомологичен тождественному, если он соединяется с тождественным семейством симплектоморфизмов, поле скоростей которого при каждом значении параметра семейства глобально гамильтоново. Гомологичные тождественному симплектоморфизмы образуют коммутант группы симплектоморфизмов многообразия M (см. [1]).
Лемма. Гомологичный и близкий (вместе с первыми производными) к тождественному симплектоморфизм имеет однозначную производящую функцию.
Теорема А. Гомологичный и близкий к тождественному симплектоморфизм компактного симплектического многообразия имеет неподвижные точки. Их число не меньше числа критических точек, которое, самое меньшее, может иметь гладкая функция на этом многообразии.
Гипотеза А. Предыдущая теорема верна без условия близости симплектоморфизма к тождественному.
Гипотеза доказана в двумерном случае: гомологичный тождественному симплектоморфизм компактной римановой поверхности имеет для сфеоы не менее 2, а в случае сферы с ручками— не менее 3 неподвижных точек. Доказательства этих теорем1' носят существенно двумерный характер. Так, в случае сферы доказательство основано на том, что индекс изолирован-
') Первая принадлежит А. И. Шнирельману и Н. А. Никишину, вторая — Я. М. Элиашбергу.
43 ной особой точки гамильтонова векторного поля на плоскости равен единице минус половина числа компонент, на которые линия критического уровня гамильтониана делит окрестность особой точки, и, тем самым, не превосходит единицы.
Заметим, что теорема Пуанкаре о симплектоморфизме кольца вытекает из (доказанной) гипотезы А для двумерного тора. Из двух экземпляров кольца можно склеить тор. Гомологичные тождественному симплектоморфизмы тора R2/Z2 — это в точности такие, которые оставляют на месте центр тяжести единичного квадрата в R2 [1]. Последнего нетрудно добиться, добавляя между склеиваемыми кольцами соединительные полоски и продолжая симплектоморфизм так, чтобы он не имел неподвижных точек на этих полосках (при этом придется использовать вращение границ кольца в разные стороны).
Будем называть два лагранжевых подмногообразия симплектического многообразия N (лагранжево) изотопными, если одно переходит в другое под действием симплектоморфизма, гомологичного тождественному. В частности, изотопные лагранжевы подмногообразия диффеоморфны.
Теорема Б. Компактное лагранжево подмногообразие, изотопное и близкое к данному, имеет с ним столько точек пересечения, сколько имеет критических точек некоторая гладкая функция на этом многообразии.
Гипотеза Б. Теорема Б верна без предположения близости изотопных лагранжевых подмногообразий.
Из гипотезы (теоремы) Б следует гипотеза (теорема) А: график ГсЖхМ гомологичного тождественному симплектоморфизма у : M-^M является лагранжевым подмногообразием, изотопным диагонали А.
Без предположения изотопии точки пересечения компактного лагранжева подмногообразия со своим лагранжевым возмущением (о которых идет речь в теореме Б) могут отсутствовать. Все же точки пересечения обязательно есть, если эйлерова характеристика лагранжева многообразия отлична от нуля либо если каждая замкнутая 1-форма на этом многообразии — дифференциал функции. Оказывается, отсутствие точек пересечения компактного лагранжева подмногообразия со своим лагранжевым возмущением означает, что это многообразие расслаивается над окружностью.
Недавно новым методом было достигнуто продвижение в доказательстве гипотез А и Б в многомерном случае. А именно, гипотеза А доказана для симплектоморфизмов тора T2" = R2n/Z2n со стандартной симплектической структурой, равно как гипотеза Б доказана для лагранжева тора Tn, вложенного в стандартный симплектический тор T2n в качестве подгруппы, и произвольной лагранжевой изотопии тора Tn [69]. Заметим, что гладкая функция на n-мерном торе имеет не менее п+ 1 критической точки и не менее 2", считая с кратностями [24].
