Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Симплеггическая структура на орбитах коприсоединенного действия играет важную роль в теории групп Ли и их представлений (см. [15], [53]).
§ 3. Скобка Пуассона
Симплектическая структура на многообразии позволяет ввести в пространстве гладких функций на этом многообразии структуру алгебры Ли — скобку Пуассона. В п. 3.1 изложена эта конструкция и сформулированы на языке скобки Пуассона свойства «законов сохранения» классической механики. Остальная часть параграфа посвящена важному обобщению понятия симплектической структуры, за основу которого взяты свойства скобки Пуассона.
3.1. Алгебра Ли функций Гамильтона (W. R. Hamilton). Пусть M — симплектическое многообразие. Кососкалярное произведение со задает изоморфизм 1 : Т*М-^>-ТМ кокасательного и касательного расслоений, т. е. соответствие между дифференциальными 1-формами и векторными полями на М, по правилу
о>(-, ID=U-).
Пусть H—гладкая функция на М. Векторное поле IdH называется гамильтоновым полем, с функцией Гамильтона (или гамильтонианом) Н. Эта терминология оправдывается тем, что в координатах Дарбу поле IdH имеет вид системы уравнений Гамильтона: р = —dH/dq, q = dH/dp.
Теорема А. Фазовый поток гладкого векторного поля на M тогда и только тогда сохраняет симплектическую структуру,, когда векторное поле локально гамильтоново.
34 Следствие (Теорема Лиувилля (J. Liouville)).' Гамильтонов поток сохраняет фазовый объем ид ... дсо.
Векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли относительно операции коммутирования. Теорема А означает, что подалгебра Ли векторных полей, потоки которых сохраняют симплектическую структуру, при изоморфизме 1~1 переходит в пространство замкнутых 1-форм.
Теорема Б. Коммутатор в алгебре Ли замкнутых 1-форм на M имеет вид [а, ?] = da(Ia, /?).
Следствие 1. Коммутатор локально гамильтоновых полей V1, Vi — гамильтоново поле с гамильтонианом со (^l, V2).
Определим скобку Пуассона {, } в пространстве гладких функций на M формулой {Н, F} =a>(IdH, IdF). В координатах Дарбу {Я, F} = 2(dH/dphdF/dqh-dF/dphdH/dqh).
Следствие 2. Функции Гамильтона образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона, т. е. имеют место билинейность, антикоммутативность {Я, F} = — {F, Я} и тождество Якоби (С. G. Jacobi) {F, {G, H}} + {G, {Н, F)) + {H, {F, G}}=0. Имеет место формула Лейбница (G. W. Leibniz) {Я, FxF2) = = {Я, F^F.+F^H, F2).
Применение этих формул к гамильтоновой механике основано на следующем очевидном факте.
Теорема В. Производная функции F вдоль векторного поля с гамильтонианом Я равна скобке Пуассона {H,F}.
Следствия, а) Закон сохранения энергии: функция Гамильтона является первым интегралом своего гамильтонова потока.
б) Теорема Э. Нётер (Е. Noether): гамильтониан F, поток которого сохраняет гамильтониан Я, является первым интегралом потока с гамильтонианом Я.
в) Теорема Пуассона: скобка Пуассона первых интегралов гамильтонова потока — снова первый интеграл.
Пример: если в механической системе сохраняются две компоненты Mu M2 вектора момента импульса, то сохраняется и третья M3= {Ми M2).
3.2. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на многообразии называется билинейная операция {, } в пространстве гладких функций на нем, удовлетворяющая требованию антикоммутативности, тождеству Якоби и правилу Лейбница (см. следствие 2 предыдущего пункта). Эту операцию мы будем также называть скобкой Пуассона. Первые два свойства скобки Пуассона означают, что она задает в пространстве гладких функций на многообразии структуру алгебры Ли. Из правила Лейбница следует, что скобка Пуассона любой функции с функцией, имеющей второй порядок нуля в данной точке, обращается в этой точке в нуль, поэтому пуассонова структура определяет внешнюю 2-форму на каждом кокасательном пространстве к многообразию, гладко зависящую от точки прило-
3*
35 жения. Обратно, значение такой 2-формы на паре df, dg дифференциалов функций определяет кососимметрическое бидиф-ференцирование (f,g)~*-W(f,g) функций, то есть билинейную кососимметрическую операцию, удовлетворяющую тождеству Лейбница по каждому аргументу.
Пусть на многообразии заданы два гладких поля V и W внешних 2-форм в кокасательном расслоении. Их скобкой Схоутена (J. A. Schouten) [V, W] называется гладкое поле 3-линейных форм на кокасательном расслоении, определенное следующей формулой
[V, W] (f, g, h) = V(f, W(g, h) )+W(f, V(g, A)) + ...,
где многоточием обозначены члены с циклически переставленными f,gnh.
Лемма. Гладкое поле W внешних 2-форм на кокасатель-ных пространствах к многообразию тогда и только тогда задает на нем пуассонову структуру, когда [W, W] =0.
В координатах пуассонова структура задается тензором ^lWij (d Idxi) Aidldxj), где rWij-гладкие функции, удовлетворяющие условиям: при всех г, у, k Wij=-Wji и
2 ('WijdwikIdxl SrWndWkjIdx1 +<w^dwjiIdxt) = 0. і
Пуассонова структура, как и симплектическая, определяет гомоморфизм алгебры Ли гладких функций в алгебру Ли векторных полей на многообразии: производная функции g вдоль поля функции f равна {f, g}. Такие поля называются гамиль-тоновыми, их потоки сохраняют пуассонову структуру. Гамильтонианы, которым отвечают нулевые поля, называются функциями Казимира (Н. Casimir) и образуют центр алгебры Ли функций. В отличие от невырожденного симплектического случая, центр может состоять не только из локально постоянных функций.
