Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Вполне интегрируемые системы
Интегрируемость гамильтоновой динамической системы обеспечивается достаточным запасом первых интегралов. Мы обсуждаем геометрические следствия и причины интегрируемости. Исследование фактически проинтегрированных систем см. в статье Б. А. Дубровина, И. М. Кричевера, С. П. Новикова.
2.1. Интегрируемость по Лиувиллю. Функция F на симплек-тическом многообразии является первым интегралом гамильтоновой системы с гамильтонианом Я, если и только если скобка Пуассона HcF равна нулю (см. п. 3.1, гл. 2). Про первые интегралы, скобка Пуассона которых между собой равна нулю, говорят, что они находятся в инволюции.
Определение. Гамильтонова система на симплектиче-ском многообразии M2n называется вполне интегрируемой, если она имеет п первых интегралов в инволюции, функционально независимых почти всюду на M2n.
Примеры. 1) Гамильтонова система с одной степенью свободы (п=1) вполне интегрируема.
2) Линейная гамильтонова система вполне интегрируема.
55 В пункте 3.3 главы 2 мы показали, что каждый квадратичный гамильтониан в R2" входит в n-мерную коммутативную подалгебру алгебры Ли квадратичных гамильтонианов. В действительности подалгебра может быть выбрана так, чтобы ее образующие были функционально независимы почти всюду в R2".
Теорема Лиувилля. Пусть на 2п-мерном симплектиче-ском многообразии M заданы п гладких функций в инволюции
Fu..., Fn-, {Fu Fj) = 0, i,j = 1,..., п.
Рассмотрим множество уровня функций Fi
M,= [XtMlFi(X) =fи i=l,..., п).
Предположим, что на Mf п функций Fi независимы (т. е. dFіД .. . /\dFn=jt= О в каждой точке Mf).
Тогда:
1) Mf — гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового потока гамильтониана H = H(F\,..., Fn) (скажем, H = F1).
2) M1 имеет каноническую аффинную структуру, в которой фазовый поток выпрямляется, т. е. в аффинных координатах
Ф= (фь . . . , ф„) на Mf 9 = const.
Доказательство. В предположениях теоремы Лиувилля отображение F = (F1, ... , Fn): M^-Rn в окрестности многообразия Mi является лагранжевым расслоением. По теореме об аффинной структуре (п. 4.2, гл. 2) Mf локально отождествляется с областью в кокасательном пространстве базы Rn в точке f, причем поле на Mf, определяемое гамильтонианом F*H, H = = H(fu ..., fn), переходит при этом отождествлении в ковектор dfH, т. е. постоянно.
Замечания. 1) Первые интегралы F1,..., Fn независимы на Mt для почти всех /6R" (не исключено, что Mf при этом пусто). Это следует из теоремы Сарда (A. Sard) (см. [6]).
2) Пусть Mf — компактно. Тогда (в предположениях теоремы Лиувилля) каждая связная компонента Mf—n-мерный тор (см. п. 4.2, гл. 2). Поток гамильтониана Я на таком торе либо периодический, либо условно-периодический. В последнем случае фазовые кривые — параллельные прямолинейные обмотки тора (рис. 18). Инвариантные торы часто встречаются в механических интегрируемых системах, поскольку для компактности Mf достаточно, чтобы были компактными многообразия уровня энергии // = const. Это так, например, для натуральных систем с компактным конфигурационным пространством.
2.2. Переменные «действие—угол». Пусть M = R2n — стандартное симплектическое пространство, слой Mf при f = О компактен и удовлетворяет условиям теоремы Лиувилля. Тогда в окрестности Mq слои Mf — га-мерные лагранжевы торы. Выберем базис (уь . . ., y„) одномерных циклов на торе Mf, непрерывно зависящий от f (рис. 19).
56 Положим
yk(S)
Функции Ik = Ik(F (p, q)) называются переменными действия.
Теорема. В окрестности тора Ai0 можно ввести структуру прямого произведения (R*/2nZ") X R" с координатами действия (Z1, ...,/„) на сомножителе R" и угловыми координатами (cP1, ...,фп) на торе R"/2jtZ", в которых симплектическая структура SdpkAdqk в R2" имеет вид Sdlk/\d4k-
Доказательство. В п. 4.2, гл. 2 мы построили целочисленную аффинную структуру в базе лагранжева расслоения со слоем тор: отождествление касательных пространств к аффинному тору Mi с кокасательным пространством базы Tf*R7* вводит там целочисленную решетку Zz1Crr,* R", а базисные циклы Yi,..., уп задают п дифференциальных 1-форм в R" — дифференциалов аффинных координат на базе.
В действительности, с точностью до множителя 2л и прибавления констант, переменные действия и являются этими аффинными координатами. Само лагранжево расслоение выбором лагранжева сечения локально отождествляется с (R")*/(2nZ)nX XRn-^-R" (группа Zn действует на Т* R71 сдвигами в каждом ко-касательном пространстве). Координаты Дарбу на Т*R" после факторизации превращаются в переменные действие-угол.
Примеры. 1) В случае одной степени свободы действие равно поделенной на 2я площади области, ограниченной замкнутой компонентой линии уровня гамильтониана.
2) Для линейного осциллятора H = S(p2-\-&2q2)!2 переменные действия имеют вид Ih= (р 2+ (a2 q2) 12cofe (отношение энергии собственного колебания к его частоте), а угловые координаты — фазы собственных составляющих колебания.
В переменных действие-угол система уравнений Гамильтона с гамильтонианом #(/ь ..., In) принимает вид /ft=0, tpft= = дН/дІк и немедленно интегрируется:
