Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следующая теорема помогает понять устройство пуассоно-вых многообразий и их связь с симплектическими. Назовем две точки пуассонова многообразия эквивалентными, если существует соединяющая их кусочно-гладкая кривая, каждый сегмент которой есть траектория гамильтонова векторного поля. Векторы гамильтоновых полей порождают касательное подпространство в каждой точке пуассонова многообразия. Его размерность называется рангом пуассоновой структуры в данной точке и равна рангу кососимметрической 2-формы, определенной на кокасательном пространстве.
Теорема о слоении ([16], [75]). Класс эквивалентности любой точки пуассонова многообразия — симплектичес-кое подмногообразие размерности, равной рангу пуассоновой структуры в этой точке.
.36 Таким образом, пуассоново многообразие разбивается на симплектические слои., которые в совокупности определяют пуассонову структуру: скобку Пуассона функции можно вычислять по их ограничениям на симплектические слои. Транс-версаль к симплектическому слою в любой точке пересекает соседние симплектические слои трансверсально по симплекти-ческим многообразиям и в окрестности исходной точки наследует пуассонову структуру.
Теорема о расщеплении ([75]). Росток пуассонова многообразия в любой точке изоморфен (как пуассоново многообразие) произведению ростка симплектического слоя на росток трансверсального пуассонова многообразия этой точки. Последний определен однозначно с точностью до изоморфизма ростков пуассоновых многообразий.
Эта теорема сводит изучение пуассоновых многообразий в окрестности точки к случаю точки нулевого ранга.
¦ 3.3. Линейные пуассоновы структуры. Пуассонова структура в векторном пространстве называется линейной, если скобка Пуассона линейных функций снова линейна. Линейная пуассонова структура в векторном пространстве — это в точности структура алгебры Ли в сопряженном пространстве; симплектические слои линейной структуры — орбиты коприсоединенного действия этой алгёбры Ли, функции Казимира — инварианты этого действия.
В точке X нулевого ранга на пуассоновом многообразии корректно определена линейная аппроксимация пуассоновой структуры — линейная пуассонова структура на касательном пространстве этой точки (или структура алгебры Ли на кока-сательном пространстве): [dxf, dxg]=dx{f, g}.
Теорема об аннуляторе. Пусть д — алгебра Ли ?G0*> 0s ={л:Є8|ас1^*5 = 0} —аннулятор § в д. Линейная аппроксимация трансверсальной пуассоновой структуры к орбите коприсоединенного действия в точке g канонически изоморфна линейной пуассоновой структуре в сопряженном пространстве аннулятора gg.
Изоморфизм задается отображением g*/ad0 g->g g пространств определения рассматриваемых линейных пуассоновых структур, двойственным к вложению gi^g.
Следствие 1. Каждый элемент полупростой алгебры Ли ранга г содержится в r-мерной коммутативной подалгебре.
Доказательство. 1°. Одно из возможных определений полупростой алгебры Ли состоит в невырожденности ее формы Киллинга (W. Killing) <х, уУ =tr (adx- ady). Эта форма инвариантна относительно присоединенного действия, поэтому присоединенное представление полупростой алгебры Ли изоморфно коприсоединенному.
37 2°. Рангом алгебры Ли называется коразмерность общей орбиты коприсоединенного действия (т. е. коранг ее пуассоно-вой структуры в общей точке). Из теоремы об аннуляторе следует, что ранг аннулятора ga любого не меньше ранга д. Действительно, при линеаризации коразмерность общего симплектического слоя может только увеличиться!
3°. Теорема Дюфло (М. Duflo): аннулятор общего элемента коммутативен. Действительно, симплектичесие слои трансверсальной пуассоновой структуры в общей точке g нульмерны, и теорема следует из 2°. Заметим, что размерность такого аннулятора равна рангу алгебры Ли д.
4°. Следствие 1 получается применением 3° к аннулятору а,х элемента хбд относительно присоединенного действия, ввиду того, что X лежит в центре алгебры дж.
Следствие 2. Линейная гамильтонова система в R2n имеет п линейно независимых квадратичных первых интегралов.
Действительно, sp(2n, R)—простая алгебра Ли ранга п.
3.4. Проблема линеаризации. Применительно к пуассоновым структурам эта проблема звучит так: изоморфна ли пуассоно-ва структура в окрестности точки нулевого ранга своей линейной аппроксимации в этой точке? Все предшествовавшие результаты параграфа были одинаково справедливы как в гладком, так и в голоморфном случае, ответ же на этот вопрос может зависеть от категории, в которой выполняется линеаризация.
Назовем алгебру Ли д (аналитически, С°°-) достаточной, если любая пуассонова структура, линейная аппроксимация которой в точке нулевого ранга изоморфна д*, сама в окрестности этой точки (аналитически, C0"-) изоморфна д*.
Это определение соответствует общему подходу к проблемам линеаризации в анализе: линеаризуемость трактуется как свойство линейной аппроксимации.
Описание достаточных алгебр Ли ¦— открытая проблема. Легко убедиться, что коммутативные алгебры Ли не являются достаточными ни в каком из двух указанных смыслов. Разрешимая двумерная алгебра Ли группы аффинных преобразований прямой достаточна в каждом из них. Полупростая алгебра Ли Sl2(R) группы симплектоморфизмов плоскости аналитически достаточна, но не является С°°-достаточной.
