Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Среди собственных чисел Xh±l оператора монодромии сильно устойчивой системы выберем те, которые лежат на верхней полуокружности Im ^>0. Мы получаем корректно определенную последовательность из п показателей ±1. При деформациях системы (2) в классе сильно устойчивых систем эта последовательность не меняется: из-за соотношений XhXi=/= 1 собственные числа не могут ни сойти с полуокружности, ни поменяться местами, если они имеют показатели разного знака.
Теорема В. Операторы монодромии сильно устойчивых систем (2) образуют открытое множество Stn в симплектической группе Sp (2п, R), состоящее из 2« связных компонент, соответствующих 2" различным последовательностям показателей.
24 На рис. 7 изображено множество St1 в группе Sp (2, R). В общем случае почти вся граница множества Stn состоит из неустойчивых операторов. Устойчивые, но не сильно устойчивые операторы монодромии также лежат на границе и образуют множество коразмерности 3 в симплектической группе. В таких точках граница имеет особенность (в простейшем случае, как у квадратичного конуса в R3, рис. 6). Особенности границы множества сильной устойчивости вдоль стратов коразмерности 2 можно увидеть на рис. 5 б, г.
Рис. 7
Рис. 8
Теорема Г. Каждая компонента множества St7l одно-связна.
При гомотопии системы (2) кривая Gt, <6[0,?oj, с началом в единице и концом в точке, отвечающей оператору монодромии, непрерывно деформируется в симплектической группе. Обратно, гомотопным кривым Gt соответствуют гомотопные системы (2).
Теорема Д. Классы гомотопии систем (2), операторы монодромии которых лежат в той же компоненте множества Stn, что и оператор монодромии G данной системы, находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами фундаментальной группы Я! (Sp (2ti, R)) = Z (системе (2) с тем же оператором монодромии G отвечает в фундаментальной группе класс образовавшейся замкнутой кривой в Sp (2n, R), рис. 8).
Замечание. По-существу, мы описали относительную гомотопическую «группу» jt = ni(Sp(2n, R), Stn) в терминах точной гомотопической последовательности
Jt1 (Stn)-^jt1 (Sp (2,и R))->it-^ Jt0 (St„) _> я0 (Sp (2п, R)),
где Jt0 (Sp (2п, R)) =0 (симплектическая группа связна), Jt1(Stn)-O (теорема Г), Ji1(Sp(S^R)) = Z, #Jt0(Stn) = 2" (теорема В). Глава 2
СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 1. Локальная симплектическая геометрия
1.1. Теорема Дарбу. Симплектической структурой на гладком четномерном многообразии называется замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нем. Многообразие, снабженное симплектической структурой, называется симплектическим многообразием. Диффеморфизм симплектических многообразий, переводящий симплектическую структуру одного в симплектиче-скую структуру другого, называется симплектическим преобразованием или симплектоморфизмом1.
Касательное пространство в каждой точке симплектического многообразия является симплектическим векторным пространством. Условие замкнутости в определении симплектической структуры связывает кососкалярные произведения в касательных пространствах к соседним точкам таким образом, что локальная геометрия симплектических многообразий оказывается универсальной.
Теорема Дарбу. Симплектические многообразия одинаковой размерности локально симплектоморфны.
Следствие. Симплектическая структура на гладком многообразии в окрестности любой точки имеет вид dpi/\dqi+ ... .. . H-dpn/\dqn при подходящем выборе локальных координат ри ..., Pr., q!,..., qn-
Условие невырожденности заслуживает особого обсуждения. Его отсутствие в определении симплектической структуры сделало бы локальную классификацию таких структур необозримой. Все же в случае вырождений постоянного ранга ответ прост: замкнутая дифференциальная 2-форма постоянного ко-ранга k в подходящих локальных координатах рь ..., рт, qx, qm> хх, . . Xk имеет вид dpx/\dqx-f. . . -\-dpmf\dqm.
1.2. Пример: вырождения замкнутых 2-форм в R4. Пусть и —замкнутая дифференциальная 2-форма общего положения на 4-мерном многообразии.
а) В общей точке многообразия форма со невырождена и в ее окрестности при подходящем выборе координат приводится к виду Дарбу dpxf\dqx-rdp2f\dq.2.
б) В точках гладкого трехмерного подмногообразия форма со имеет ранг 2. В общей точке этого подмногообразия двумерное ядро формы о> трансверсально ему. В окрестности такой точки to приводится к виду pxdplf\dqx+dp2/\dq2-
ч В литературе используется также традиционное название: сканониче-ское преобразование».
26 в) Следующее вырождение общей формы со происходит в точках гладкой кривой на нашем трехмерном подмногообразии. В общей точке кривой двумерное ядро формы ш касается трехмерного многообразия, но трансверсально этой кривой. В окрестности такой точки форма ш приводится к одному из двух видов d(x—z2/2) /\dy + d(xz±ty—z3/3)/\dt.. Поле ядер формы ш высекает поле направлений на трехмерном многообразии. Линии поля, отвечающие знаку + в нормальной форме, изображены на рис. 9. При знаке — вращение спирали заменяется гиперболическим поворотом (см. [58], [68], [3]).
