Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Не следует думать, что бифуркационная диаграмма вещественного квадратичного гамильтониана зависит только от жордановой структуры. Рассмотрим следующий ваянный пример. Гамильтоновы операторы с некратным чисто мнимым спектром образуют открытое множество в пространстве гамильтоновых операторов. Гамильтоновы операторы с кратным чисто мнимым спектром, но без жордановых клеток, образуют множество коразмерности 3 в пространстве гамильтоновых операторов. Если такой оператор H имеет спектр {±У—1 (0?}, то соответствующий гамильтониан в подходящих координатах Дарбу имеет вид /г = сої (pi2 + qi2) + . . • + o>n(/?«2+; + qn2)]/2. Пусть, скажем, W12 = Co22^O. Если инварианты oo-i и ш2 гамильтониана h одного знака, то бифуркационная диаграмма представляет собой точку (класс h) в пространстве R3 — все близкие к h гамильтонианы имеют чисто мнимый спектр и не имеют жордановых клеток. Если инварианты toi и со2 разных знаков, то бифуркационная диаграмма представляет собой квадратичный конус (рис. 6), точкам которого отвечают операторы с жордановыми клетками размера 2.
2*
19 Рис. 6
§ 4. Симплектическая группа
Приводимые ниже сведения о вещественных симплектиче-ских группах применяются в конце раздела к теории линейных гамильтоновых систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
4.1. Спектр симплектического преобразования. Симплектическая группа Sp(2п, R) состоит из линейных преобразований пространства R2", сохраняющих стандартную симплектическую структуру Q=IiPhAcIk- Матрица G симплектического преобразования в базисе Дарбу удовлетворяет поэтому определяющему соотношению G*QG = Q.
20 Теорема. Спектр вещественного симплектического преобразования симметричен относительно единичной окружности и вещественной оси. Корневые подпространства, соответствующие симметричным собственным числам, имеют одинаковую жор-данову структуру.
Действительно, определяющее соотношение показывает, что матрицы G и G1 подобны над С. Это приводит к инвариантности жордановой структуры симплектического преобразования и его спектра относительно симметрии Ki-^-X'1. Вещественность дает вторую симметрию к>->к.
4.2. Экспоненциальное отображение и параметризация Кэли (A. Cayley). Экспонента оператора задает экспоненциальное отображение H^exp(H) =IHk/k\ пространства гамильтоновых операторов в симплектическую группу. Симплектическая группа действует сопряжениями на себе и на своей алгебре Ли, Экспоненциальное отображение инвариантно относительно этого действия: exp (G~lHG) = G_1exp (H) G.
Отображение exp является диффеоморфизмом окрестности нуля в алгебре Ли на окрестность единицы в группе. Обратное отображение задается рядом InG=—I (Е—G)h/k. Отображение exp:sp(2ra, R)^Sp(2n, R) не является ни вложением, ни отображением «на». Поэтому для изучения симплектической группы бывает полезнее параметризация Кэли: G=(E + H)(E—H)~l, H= (G—?) (G + .E)-1. Эти формулы задают диффеоморфизм са множества гамильтоновых операторов Н, все собственные числа которых отличны от ±1, 0, на множество симплектиче-ских преобразований G1 все собственные числа которых отличны от ±1.
Используя отображения са, exp, —ехр и результаты § 2, можно получить следующий результат.
Теорема. Симплектическое пространство, на котором задано симплектическое преобразование G, распадается в прямую косоортогональную сумму симплектических подпространств, на каждом из которых преобразование G в подходящих координатах Дарбу имеет вид ±ехр(#), где H — элементарный гамильтонов оператор из п. 2.4.
Замечание. Отображение Кэли не инвариантно относительно сопряжений, но операторы H и G = Ca(H) имеют общий жорданов базис.
4.3. Подгруппы симплектической группы. Симплектические преобразования ±Е перестановочны со всеми элементами группы Sp(V2n) и образуют ее центр.
Каждая компактная подгруппа в Sp(V2n) лежит в пересечении Sp(V2n) с ортогональной группой O(V2n) преобразований, сохраняющих некоторый положительно определенный квадратичный гамильтониан /г = 2а>й(рь2+?й2) /2. Если все различны, пересечение Sp (V2n) ПО (V2n,/г) является га-мерным тором Tn и порождается преобразованиями exp (XHk), где Hjt
21 имеет гамильтониан (pk2+qh2)/2. Каждая компактная коммутативная подгруппа в Sp(V2n) лежит в некотором торе Tn описанного выше вида. Все такие торы сопряжены в симплектической группе.
Рассмотрим нормализатор N(Tn) = {g6Sp(V2n) IgTn^-1 = Т"} тора Tn в симплектической группе. Факторгруппа W= = N(Tn)/Tn называется группой Вейля. Она конечна, изоморфна группе перестановок п символов и действует на торе перестановками однопараметрических подгрупп exp(XHh). Элементы тора сопряжены в симплектической группе тогда и только тогда, когда они лежат в одной орбите этого действия.
Если все (I)ft равны между собой, гамильтониан h вместе с симплектической формой наделяют V2n структурой п-мерного комплексного эрмитова пространства. Пересечение Sp(V2n)H ПО (V2n, h) совпадает с унитарной группой Un этого пространства. Все подгруппы Un сопряжены. Каждая компактная подгруппа в Sp(V2n) лежит в некоторой унитарной подгруппе такого вида. В частности, тор Tn и его нормализатор N(Tn) лежат в (единственной) подгруппе Un.
