Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Миниверсальные деформации квадратичных гамильтонианов. Пусть снова M — пространство квадратичных гамильтонианов в R2n, G = Sp(2n, R). Мы будем отождествлять M с пространством гамильтоновых матриц размера 2пХ2п. Введем в пространстве таких матриц поэлементное скалярное произведение <, >. Оно может быть представлено в виде <Я, ТУ = tr(HF*) где * означает транспонирование. Заметим, что матрица, транспонированная к гамильтоновой — снова гамильтонова. Из свойств следа получаем: <[J, Y],Z) + + <Y,[X*, Z]> = 0, где [X, Y] =XY—YX — коммутатор.
Лемма. Ортогональное дополнение в M к касательному пространству в точке H орбиты гамильтониана H совпадает с централизатором Zh,= .{XGM1 [X, Я*] =0} гамильтониана Я* в алгебре Ли квадратичных гамильтонианов.
Доказательство: если <[Я, F],X} = 0 для всех FGM, то <F, [#*, Z]> = 0, т. е. [Я*, X] = 0, и обратно.
Следствие. Деформация (ZH, 0)-»-(М, Я) : Х^Н+Х*— миниверсальная деформация квадратичного гамильтониана //.
Для гамильтониана H обозначим через щ (2) > п2 (z) > ... .. . > ns (z) размеры жордановых клеток с собственным числом хф 0, а через тпх~> .. .~>пьи и тх~> . • ¦ ~>mv размеры его жордановых клеток C собственным ЧИСЛОМ нуль, причем rtlj четны, a rrij нечетны (из каждой пары клеток нечетного размера учитывается одна).
Теорема ([9]). Размерность d базы миниверсальной деформации гамильтониана H равна
и
*=422 (2/-1) flj(z) +і 2 (2/-1) mj +
гфОJ = 1 у—1
V UV
+ 2 [2 (2/ - 1) їп^-1] + 2 2 2 min (mP «*).
j=\ j=\ ft=i
В работе [9] приведен явный вид миниверсальных деформаций для всех нормальных форм квадратичных гамильтонианов.
3.3. Семейства общего положения. Разобьем пространство квадратичных гамильтонианов на классы в соответствии с наличием собственных чисел разных типов (но не числовых значений) и с размерами жордановых клеток. Такая классификация, в отличие от классификации по G-орбитам, дискретна (даже конечна). Говорят, что гамильтонианы данного класса не встречаются в /-параметрических семействах общего поло-
2—2538
17 жения, если их можно устранить сколь угодно малым возмущением семейства. Например, гамильтониан общего положения не имеет кратных собственных чисел; он также не имеет наперед заданного спектра собственных чисел, но все же имеет какой-то другой спектр.
Важность изучения явлений общего положения объясняется тем, что в приложениях исследуемый объект часто известен лишь приближенно или подвержен возмущениям, из-за которых исключительные явления непосредственно не наблюдаются.
Коразмерностью с данного класса называется наименьшее число параметров семейств, в которых гамильтонианы этого класса встречаются неустранимо.
Обозначим через v половину числа различных ненулевых собственных значений гамильтонианов из данного класса.
Теорема. c = d—V (так что формула для с получается из формулы для d предыдущей теоремы уменьшением каждого слагаемого вида 2(2/—1)п,(г) на единицу).
Доказательство этой теоремы основано на том интуитивно очевидном факте, что семейства общего положения транс-версальны каждому классу (рис. 3) (подробнее об этом см. [2], [6]), и на том, что число параметров, нумерующих G-орбиты данного класса, равно v..
Следствие 1. В одно- и двухпа-раметрических семействах квадратичных гамильтонианов встречаются как неустранимые только жордановы клетки следующих двенадцати типов
с=1 : [±а)\ (±ш)2, O2
(здесь жордановы клетки обозначаются их определителями, например, (±а)2 означает пару жордановых клеток порядка 2 с собственными числами а и —а соответственно);
с = 2 : (±а)3, (±ш)3, (±a±ib)2, О4, (±а)2{±Ь)2,. (±ia)2(±ib)2, (±a)2(±ib)2, (±а)202, (±ш)202 (остальные собственные числа простые).
Следствие 2. Пусть Ft— гладко зависящее от одного параметра семейство общего положения квадратичных гамильтонианов. В окрестности любого значения t = t0 существует гладко-зависящая от t система линейных координат Дарбу, в которой а) для почти всех t0, Ft имеет вид Hx (см. формулу (1)), б) для изолированных значений t0 Ft имеет одну из следующих форм.
Рис. 3
(±а)2: P1Q2^P22/2-^ ^1I1) Q 2/2-(a2 ^1I2) Q22^r Н}.(р, д),
18 (+ ia)2'- + [P1Q2 +/V/2-(a> +U1) Q12/2 + (a2 +jx2) Q/] +
+ Hx (p, q), O2: ±[pii2-nQ>l2\+ Hx (p, q)
(здесь (P, Q, p, q) — координаты Дарбу в R2m1 (X, ц) — гладкие функции параметра t, (K(t0), ц(^0)) = (0, 0)).
Доказательство: приведенные формулы являются минивер-сальными деформациями представителей классов коразмерности 1.
3.4. Бифуркационные диаграммы. Бифуркационной диаграммой деформации гамильтониана называется росток разбиения пространства параметров на прообразы классов. Бифуркационные диаграммы семейств общего положения отражают (ввиду условия трансверсальности классам, см. рис. 3) структуру разбиения на классы в самом пространстве квадратичных гамильтонианов.
На рис. 4 и 5 приведены бифуркационные диаграммы деформаций общего положения для классов коразмерности 1 и пер-
®ее ФФФ ФФЄ
х-о я.=о
Рис. 4
вых четырех классов коразмерности 2 по порядку их перечисления в формулировке следствия 1.
