Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры. 1) Гамильтониану h = со (р2 + q2)/2 отвечает система уравнений q = a>p, р= — ш<7 гармонического осциллятора. 2) Группа симплектических преобразований плоскости R2 совпадает с группой SL (2, R) 2X2-матриц с определителем 1. Ее алгебра Ли si (2, R) имеет три образующих X = q2l2, Y=—p2/2, H=pq с коммутаторами [X, Y]=H, [Н,Х]=2Х, [Я, У]=—27.
х> «-транспонирование.
11 2.2. Комплексная классификация гамильтонианов. Два га-
мильтоновых оператора в симплектическом пространстве V будем считать эквивалентными, если они переводятся друг в друга симплектическим преобразованием. Соответствующая задача классификации вполне аналогична задаче о жордановой нормальной форме линейного оператора. На более ученом языке речь идет о классификации орбит присоединенного действия симплектической группы в ее алгебре Ли. В комплексном случае ответ дает следующая
Теорема Вильямсона (J. Williamson [77]). Гамильтоновы операторы в комплексном симплектическом пространстве эквивалентны тогда и только то^да, когда они подобны (т. е. имеют одинаковую жорданову структуру).
Симплектическая форма позволяет следующим образом отождествить пространство V с сопряженным пространством V* : х->со (х, •). При таком отождествлении оператор Н* : V*-> -vV*, сопряженный гамильтонову оператору H : V-*-V, превращается в —Н. Поэтому жорданова структура гамильтонова оператора удовлетворяет ограничениям
1) если а — собственное число, то —а — тоже собственное число;
2) жордановы клетки, отвечающие собственным числам а и —й, имеют одинаковую структуру;
3) жордановых клеток нечетного размера с собственным числом й = 0 — четное количество.
В остальном жордановы структуры гамильтоновых операторов произвольны.
Следствие. Пусть H\V-*-V — гамильтонов оператор. Тогда V распадается в прямую косоортогональную сумму симп-лектических подпространств, на каждом из которых оператор H имеет либо две жордановы клетки одинакового размера с противоположными собственными числами, либо одну жорданову клетку четного порядка с нулевым собственным числом.
2.3. Линейные вариационные задачи. В качестве нормальных форм линейных гамильтоновых систем можно взять уравнения экстремалей специальных вариационных задач. Мы предполагаем, что читатель знаком с простейшими понятиями вариационного исчисления, и будем пользоваться формулами из п. 1.4 г|лавы 3, где описан гамильтонов формализм вариационных задач со старшими производными.
Пусть л:= X (t) —функция переменной t, xk = dkxldtk. Рассмотрим задачу оптимизации функционала j" L (jc0, .... хп) dt с лагранжианом L = (хп2+ап,хх2п_х-\-...-YariXQ2)^. Уравнение экстремалей такого функционала
X2n — С1п-\Х2п-2 + ...+(— 1)" 00*0 = 0
является линейным однородным уравнением с постоянными;
12 коэффициентами, в которое входят производные искомой функции # только четного порядка.
С другой стороны, уравнение экстремалей эквивалентно га-мильтоновой системе (см. п. 1.4, гл. 3) с квадратичным гамильтонианом
h= ± {p0qx... + (Pn-i2—a„-i9„-i2— ... — a0q02)/2},
где qk = xh, Pn-I = Xn, Ph-\= ahxh—dphldt— координаты Дарбу в 2я-мерном фазовом пространстве уравнения экстремалей.
Заметим, что этой конструкцией не получается гамильтонова система с парой жордановых клеток нечетного порядка п с собственным числом 0. Такой системе отвечает гамильтониан ± (A><7i + -• ¦+Ах-2<7л-і)- Гамильтонова жорданова клетка порядка 2п с собственным числом 0 получается при l=xn2/2. Экстремали в этом случае —решения уравнения d2'lx/dt2n = 0, т.е. многочлены x(t) степени <2п. Вообще, лагранжиану! с характеристическим многочленом ^+?n-il""1 + • • • +?o = = sm°(^ + si)mi ••• (l-\-lk)mk отвечает гамильтонов оператор с одной жордановой клеткой размера 2т0 и собственным числом 0 и k парами жордановых клеток размеров т] с собственными числами ± УIj .
2.4. Нормальные формы вещественных квадратичных гамильтонианов. Очевидное отличие вещественного случая от комплексного состоит в том, что жордановы клетки гамильтонова оператора разбиваются на четверки клеток одинакового размера с собственными числами ±а±ЬУ—1, если только аф0 и ЬфО. Более существенное отличие заключается в следующем. Две вещественные матрицы вещественно подобны, если они подобны как комплексные матрицы. Для квадратичных гамильтонианов это не всегда так. Например, гамильтонианы ±(p2 + q2) гармонического осциллятора имеют одинаковые собственные числа ±2У—1, т. е. эквивалентны над С, но не эквивалентны над R: на ориентированной кососкалярным произведением фазовой плоскости этим гамильтонианам отвечают вращения в разные стороны. В частности, теорема Вильямсона п. 2.2 в том виде, как она там сформулирована, не переносится на вещественный случай.
Мы приводим список элементарных нормальных форм квадратичных гамильтонианов в координатах Дарбу (ро,..., рп-ь ¦<7о> • • • > <7n-i) стандартного симплектического пространства R2".
1) Паре жордановых клеток (нечетного) порядка п с собственным числом нуль отвечает гамильтониан
и-2
ho = 2/wjm (A0 = O при п. = \).
S=O
