Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
¦> См. том 3 настоящего издания.
31 Для этого рассмотрим эрмитову форму < , > в пространстве O+1. Касательное пространство в точке многообразия CPn отождествляется с эрмитовым ортогональным дополнением соответствующей прямой в С"+1 однозначно с точностью до умножения на ещ. Поэтому ограничение формы <, > на это ортогональное дополнение однозначно определяет эрмитову форму на касательном пространстве к CP". Построенная таким образом эрмитова метрика на CPn инвариантна относительно унитарной группы U„+i пространства Cn+1. Поэтому мнимая часть со нашей эрмитовой метрики и ее дифференциал day ип+гинвариант-ны. В частности, форма dtо инвариантна относительно стабилизатора Un произвольной точки в CP", действующего на касательном пространстве к этой точке. Поскольку группа Un содержит умножение на —1, любая Un — инвариантная внешняя 3-форма в овеществлении пространства С" равна нулю, откуда следует, что дифференциальная 2-форма со замкнута.
В явном виде, пусть < z, z ) =^tZkZb Wk = ZkIZ0-аффинная карта на CP". Тогда форма со пропорциональна
_. п
in 21 Р.
k=0
где д, д — дифференциалы по голоморфным и антиголоморфным координатам соответственно. Множитель выбран таким образом, чтобы интеграл по проективной прямой СР'сСР" был равен 1.
2.3. Кэлеровы и симплектические многообразия. Комплексные проективные многообразия представляют собой подкласс класса кэлеровых многообразий. Кэлеровой структурой на комплексном многообразии называется эрмитова метрика на нем, мнимая часть которой замкнута, т. е. является симплектической структурой. Как и в предыдущем пункте, комплексное подмногообразие кэлерова многообразия само кэлерово. Кэлеровы многообразия обладают специфическими геометрическими свойствами. В частности, имеет место разложение Ходжа (W. Hodge) в когомологиях компактного кэлерова многообразия М\
Hk (М, С) = © Нр'\ Hp'q = Hq'p,
где Hp,q состоит из классов, представимых комплекснозначны-ми замкнутыми дифференциальными A-формами на M типа {p,q\. Последнее означает, что в базисе dzu ..., dzn, dz\,..., dz„ комплексифицированного кокасательного пространства форма является линейной комбинацией внешних произведений р штук
dz{ и q штук dzj.
С другой стороны, симплектическую структуру на многооб-
32 разии всегда можно усилить до квазикэлеровой структуры, т. е. комплексной структуры на касательном расслоении и эрмитовой метрики, мнимая часть которой замкнута. Это вытекает из стягиваемости структурной группы Sp(2n, R) касательного расслоения симплектического многообразия на унитарную группу Un.
Пример ([74]). Существуют компактные симплектические многообразия, не обладающие кэлеровой структурой. Рассмотрим в стандартном симплектическом пространстве R4 с координатами ри qі, р2, q2 действие группы, порожденной следующими симплектоморфизмами:
^:-72^92+1. b:p2^p2 + \, c-.q^q^X,
d:(pi, <7i, Pi, яг(А + Ь <7i> Рь Яї+Рі)-По-другому это действие можно описать, как левые сдвиги в группе G матриц вида (1) элементами дискретной подгруппы G2 целочисленных матриц.
1 Рг <72
0 1 Pi 0
0 0 1
0 1 <71
0 1
Поэтому факторпространство M = GlGz является гладким симп-лектическим многообразием. Функции qv р2 (mod Z) задают отображение М-+Т2, являющееся расслоением над тором T2 со слоем T21 поэтому M компактно.
Фундаментальная группа щ(М) изоморфна Gz, а группа H1 (УЙ, Z) s Gz/ [Gz, Gz]. Коммутант [Gz, Gz] порождается элементом bdb'ld~l = a, поэтому dime//1 (М, С) = 3 — размерность пространства одномерных когомологий M нечетна! Но из разложения Ходжа следует, что у кэлерова многообразия пространства нечетномерных когомологий четномерны.
2.4. Орбиты коприсоединенного действия групп Ли. Пусть G— связная группа Ли,Q=TeG — ее алгебра Ли. Действие группы на себя сопряжениями имеет неподвижную точку e6G— единицу группы. Дифференциал этого действия определяет присоединенное представление Ad : G-»-GL (TeG) группы в ее алгебре Ли. Сопряженное представление Ad* : G-^-GL (Te*G) в двойственном пространстве алгебры Ли называется копри-соединенным представлением группы. Соответствующее присоединенное ad : g->-End(g) и коприсоединенное ad* : g->--vEnd(g*) представления алгебры Ли в явном виде задаются формулами
adХу = [х, у], х, убд. (ad/O \y = l(\y, *]), х, yGb L€g*, где [ , ] — коммутатор в алгебре Ли д.
3-2538
33 Теорема. Каждая орбита коприсоединенного действия группы Ли обладает симплектической структурой.
Она строится следующим образом. Отображение .t i^acTr*! отождествляет касательное пространство к орбите коприсоединенного представления в точке ?бд* с пространством g/gg, где д^ = {лбд I adx*?j = 0} — аннулятор функционала На пространстве g/gt корректно определено невырожденное кососкалярное произведение у]). Замкнутость получающейся таким образом симплектической формы на орбите следует из тождества Якоби в алгебре Ли.
Следствие. Орбиты коприсоединенного действия четно-мерны.
Пример. Пусть G = Un+i. Присоединенное представление в этом случае изоморфно коприсоединенному, поэтому орбиты присоединенного действия имеют симплектическую структуру. Алгебра Ли унитарной группы состоит из косоэрмитовых операторов в Cn+1. Орбита косоэрмитова оператора ранга 1 изоморфна CPn, и мы получаем новое определение введенной в п. 2.2 симплектической структуры на комплексном проективном пространстве.
