Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
г) Гиперболические и эллиптические участки нашей кривой разделены параболическими точками, в которых двумерное ядро формы о касается и трехмерного подмногообразия, и самой кривой. Здесь известно только, что имеется по меньшей мере один модуль — непрерывный числовой параметр, различающий неэквивалентные вырождения формы в окрестности параболической точки [46].
д) Все более глубокие вырождения формы (о (например, обращение ее в нуль в изолированных точках) устранимы малым возмущением в классе замкнутых 2-форм.
1.3. Ростки подмногообразий симплектического пространства. Здесь мы обсудим вопрос, при каких условиях два ростка гладких подмногообразий симплектического пространства можно перевести друг в друга локальным диффеоморфизмом объемлющего пространства, сохраняющим симплектическую структуру. Ростки подмногообразий, для которых это возможно, мы будем называть эквивалентными. Ограничение симплектической структуры объемлющего пространства на подмногообразие определяет на нем замкнутую 2-форму, возможно, вырожденную. У эквивалентных ростков эти вырождения одинаковы, другими словами — совпадают их внутренние геометрии. Если это требование выполнено, то существует локальный диффеоморфизм объемлющего пространства, переводящий друг в друга два ростка подмногообразий вместе с ограничениями на них симплектической структуры из объемлющего пространства, но не обязательно сохраняющий саму эту структуру. Таким образом, мы можем считать, что имеются один росток подмногообразия и две симп-лектические структуры в окрестности подмногообразия, совпадающие при ограничении на него. Два ростка подмногообразий евклидова пространства с одинаковой внутренней геометрией мо-
Рис. 9
27 гут иметь разную внешнюю геометрию. В симплектическом пространстве это не так.
Относительная теорема Дарбу I. Пусть задан росток гладкого подмногообразия в начале координат пространства R2n и два ростка симплектических структур соо и (O1 в окрестности начала координат, ограничения которых на это подмногообразие совпадают. Тогда существует росток диффеоморфизма пространства R2n, тождественный на подмногообразии и переводящий Шо в СОь
Если подмногообразие — точка, мы получаем теорему Дарбу из п. 1.1.
Доказательство. Мы применяем гомотопический метод. Можно считать, что подмногообразие —это линейное подпространство X и что дифференциальные формы со0 и Co1 совпадают в начале координат (второе следует из линейной «относительной теоремы Дарбу», п. 1.2, гл.1). Тогда 0), = (1 — t) co0 -Mco1-симплектические структуры в окрестности начала координат при всех г*б[0, 1]. Будем искать семейство диффеоморфизмов, переводящих со, в (O0 и тождественных на X, или, что эквивалентно, семейство Vt векторных полей, равных нулю на X и удовлетворяющих гомологическому уравнению Lvt^t +(coI-®о) =0 (здесь Lv — производная Ли). Так как формы со, замкнуты, мы можем перейти к уравнению ivf^+Ct = O, где і^о) — внутреннее произведение поля и формы, а а — 1-форма, определенная условием da = ©і—CO0 однозначно с точностью до прибавления дифференциала функции. Ввиду невырожденности симплектических структур (о(, это уравнение однозначно разрешимо при любой 1 -форме а. Поэтому нам осталось показать, что форму а можно взять равной нулю в точках подпространства X. Пусть Xi=... = Xh = 0 — уравнения X, у i,. . ., У2п-ъ — остальные координаты в R2". Так как форма сої—со0 равна нулю на X, то a = S(XiCti +fidxt) +df, где «і — 1-формы, f — функции,, причем f зависит только от у. Следовательно, мы можем заменить а на форму 2х,(а{—dft)=a—d(f+ SfiXi), равную нулю в точках X.
1.4. Классификация ростков подмногообразий. Относительная теорема Дарбу позволяет перерабатывать информацию о вырождениях замкнутых 2-форм в результаты по классификации ростков подмногообразий симплектического пространства. Так, перечисленные в п. 1.2 вырождения замкнутых 2-форм в R4 реализуются ограничением стандартной симплектической структуры в R6 на ростки в нуле следующих 4-мерных подмногообразий (ри р2, Рз, qu ?2, qz — координаты Дарбу в R6):
а') р3=<?з=0;
б') <7з = 0, рі = /?з2/2;
в') P2 = qm, рз=рі<72±<7і?з—<723/3.
28 Теорема. Росток гладкого 4-мерного подмногообразия общего положения в 6-мерном симплектическом пространстве локальной симплектической заменой переменных приводится к виду а')—в общей точке, б')—в точках гладкого 3-мерного подмногообразия, в') — в точках на гладкой кривой, и неустойчив в изолированных (параболических) точках.
Здесь мы столкнулись с вопросом о реализации: какова наименьшая размерность симплектического пространства, в котором заданное вырождение замкнутой 2-формы реализуется ограничением симплектической структуры на подмногообразие? Ответ дает
Теорема о продолжении. Замкнутую 2-форму. на подмногообразии четномерного многообразия тогда и только тогда можно продолжить до симплектичексой структуры в окрестности некоторой точки, когда коранг формы в этой точке не превосходит коразмерности подмногообразия. Операцию продолжения можно сделать непрерывной в С°°-топологии (т. е. близким формам можно сопоставить близкие продолжения) .
