Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры лагранжевых пространств. 1) В Х*®^ подпространства ОФХ и Х*Ф0 лагранжевы. 2) Линейный оператор Х-^-Х* самосопряжен тогда и только тогда, когда его график в Х*®Х лагранжев. Самосопряженному оператору А соответствует квадратичная форма {Ах, х)/2 на X. Она называется производящей функцией этого лагранжева подпространства. 3) Линейное преобразование пространства V тогда и только тогда сохраняет симплектическую форму со, когда его график в пространстве V®V лагранжев относительно симплектической структуры W = ni*co—Л2*со, где лі, Л2 — проекции на первое и второе слагаемое (площадь W{x, у) параллелограмма равна разности площадей проекций).
1.3. Лагранжев грассманиан. Множество всех лагранжевых подпространств симплектического пространства размерности 2п является гладким многообразием и называется лагранжевым грассманианом An.
9 Теорема. An диффеоморфно многообразию смежных классов группы Un унитарных и X гс-матриц по подгруппе On ортогональных матриц (унитарный репер в Cn порождает лагранжево подпространство в овеществлении Cn).
Следствие, dimA„ = n(n+1.)/2.
О топологии An см. гл. 6.
Пример. Линейный комплекс прямых. Комплексом прямых называется 3-мерное семейство прямых в 3-мерном проективном пространстве. Ниже мы приводим конструкцию, связывающую так называемые линейные комплексы прямых с простейшими понятиями симплектической геометрии. Эта связь дала имя симплектической геометрии: в 1946 году Герман Вейль (Н. Weyl) [74] предложил вместо вносившего терминологическую путаницу прилагательного «com-plex» (оно состоит из латинских корней, имеющих значение «сплетенные вместе») употреблять прилагательное «sym-plectic», образованное от эквивалентных греческих корней.
Следующая далее конструкция показывает, что лагранжев грассманиан A2 диффеоморфен неособой квадрике (сигнатуры (+ + H---)) в 4-мерном проективном пространстве.
Точки проективного пространства P3=P(V)—это одномерные подпространства в 4-мерном векторном пространстве V. Прямые в P3 — это 2-мерные подпространства в V. Каждое такое подпространство однозначно с точностью до множителя определяет внешнюю 2-форму ф ранга 2, ядро которой совпадает с этим подпространством. Формы ранга 2 образуют в 6-мер-ном пространстве A2V всех внешних 2-форм квадратичный конус с уравнением фДф = 0. Таким образом, многообразие всех прямых в P3 — это квадрика Q в P5 = P(A2V). Линейный комплекс прямых задается пересечением квадрики Q с гиперплоскостью H в P5. Гиперплоскость в P(/\2V) задается с помощью внешней 2-формы со на V : H = P ({<p?/\2V\u)/\q> = 0}). Невырожденность формы со эквивалентна тому, что линейный комплекс прямых Hf\Q неособ. Уравнение соАф = 0 Для формы ф ранга 2 означает, что ее ядро лагранжево относительно симплектической структуры со. Поэтому неособый линейный комплекс прямых представляет собой лагранжев грассманиан Аг.
§ 2. Линейные гамильтоновы системы
Здесь обсуждается жорданова нормальная форма инфини-тезимальных симплектических преобразований.
2.1. Симплектическая группа и ее алгебра Ли (S. Lie). Линейное преобразование G симплектического пространства (V, со) называется симплектическим преобразованием, если оно сохраняет кососкалярное произведение: со (Gx, Gy) = со(х, у) для всех х, y&V. Симплектические преобразования образуют группу Ли, .обозначаемую Sp(V) (Sp (2п, R) или Sp (2п, С) для стандарт-
10 ного вещественного или комплексного 2/г-мерного симплектического пространства).
Рассмотрим однопараметрическое семейство симплектических преобразований; пусть нулевому значению параметра отвечает тождественное преобразование. Производная преобразования семейства по параметру (в нуле) называется гамильтоновым оператором. Дифференцированием условия симплектичности преобразования находим условие гамильтоновости оператора Я:ю(Ях, у)+а>(х, Ну)= 0 для всех -х, у є V. Коммутатор га-мильтоновых ' операторов — снова гамильтонов оператор: га-мильтоновы операторы образуют алгебру Ли sp(V) группы Ли Sp(V).
Квадратичная форма h(x) = а>(х, Hx)/2 называется гамильтонианом оператора Я. Гамильтонов оператор восстанавливается по своему гамильтониану из уравнения h(x+y)—h(x)—h(y) = = со (у, Hx) для всех х, у. Мы получаем изоморфизм пространства гамильтоновых операторов и пространства квадратичных форм в симплектическом пространстве V.
Следствие, dimSp(F) =n(2n+1), где 2п = dim V.
Коммутатор гамильтоновых операторов определяет структуру алгебры Ли в пространстве квадратичных гамильтонианов-. {hu h2} (*)=©(*, (H2H1-H1H2)X)^ = UiH1Xy Н2х). Операция {•, •} называется скобкой Пуассона (S. D. Poisson). В координатах Дарбу скобка Пуассона имеет вид {hu h2} = = ZidhiJdpb • dh2\dq h—Oh2Idph-dh{/dqh).
Матрица гамильтонова оператора в координатах Дарбу
Ji=^g удовлетворяет соотношениям 1}В* = В, С* = C, D* = = — А. Соответствующий гамильтониан h — квадратичная форма, матрица которой etTb [Щ = — ~ ~
Линейная гамильтонова система дифференциальных уравнений х = Их в координатах Дарбу записывается так: р= —dh/dq, q = dh/dp. В частности, гамильтониан является первым интегралом своей гамильтоновой системы: h=dhidq-q-f--\-dh/dp-р = 0. Таким образом, мы выразили в терминах пространства квадратичных гамильтонианов структуру алгебры Ли симплектической группы и ее действие в пространстве V.
