Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечания. 1) В комплексной симплектической группе Sp(2п, С) максимальная компактная подгруппа изоморфна компактной симплектической группе Spn преобразований п-мерного пространства над телом кватернионов.
2) Тор Т" является максимальным тором и в комплексной симплектической группе: T"cSp (2л, R)cSp (2п, С), но его нормализатор Nс (Tn) в Sp (2л, С) отличается от нормализатора N(Tn) в Sp (2л, R). Группа Вейля Wc = Nc(Vn)ITn действует на Tn композициями перестановок подгрупп exp (XHk) и отражений exp (XHk)^exp (-XHk).
Пример. Группа Sp1CSp (2, С) единичных кватернионов совпадает с группой SU (2). В качестве максимального тора в Sp (2, С) можно взять группу SO (2) поворотов плоскости. В данном случае максимальный тор совпадает с максимальной компактной подгруппой U1 в Sp(2, R). Группа Вейля W тривиальна. Комплексная группа Вейля Wc изоморфна Z/2Z. Ее действие на SO (2) задается сопряжением с помощью матрицы diag(|^ — 1,
4.4. Топология симплектической группы.
Теорема. Многообразие Sp (2n, R) диффеоморфно декар-тову произведению унитарной группы Un на векторное пространство размерности л(п+1)-
Ключ к доказательству дает полярное разложение: обратимый оператор А в евклидовом пространстве однозначно представляется в виде произведения S-U обратимого симметрического положительного оператора S= (АД*)1/2 и ортогонального оператора U = S~lA. Для симплектических операторов А, действующих в овеществлении R2n эрмитова пространства Cn,
22 операторы U оказываются унитарными, а логарифмы In S операторов S заполняют /г (м-j-1) -мерное пространство симметрических гамильтоновых операторов.
Следствие. 1) Симплектическая группа Sp(2и, R) стягивается на унитарную подгруппу Un-
2) Симплектическая группа Sp (2n, R) связна. Фундаментальная группа ni(Sp(2ra, R)) изоморфна Z.
Последнее вытекает из свойств многообразия UraIUre-SUnX-S1 (функция detc:U„->{z6C j | 2 | = 1} задает проекцию на второй сомножитель); группа SUfi связна и односвязна (это следует из точных гомотопических последовательностей расслоений
SU „JUS*1-1).
Пример. Группа Sp(2, R) диффеоморфна произведению открытого круга на окружность.
4.5. Линейные гамильтоновы системы с периодическими коэффициентами [12]. Пусть h — квадратичный гамильтониан, коэффициенты которого непрерывно зависят от времени t и периодичны по t с общим периодом. Гамильтониану h отвечает линейная гамильтонова система с периодическими коэффициентами
q = dh/dp, р = — dh/dq. (2)
Такие системы встречаются при исследовании устойчивости периодических решений нелинейных гамильтоновых систем, в теории автоматического регулирования и вопросах параметрического резонанса.
Назовем систему (2) устойчивой, если все ее решения ограничены при t-*-oo, и сильно устойчивой, если все близкие линейные гамильтоновы системы с периодическими коэффициентами тоже устойчивы (близость понимается в смысле нормы
maxllft(f) II).
(
Две сильно устойчивые гамильтоновы системы будем называть гомотопными, если их можно непрерывно продеформи-ровать друг в друга, оставаясь в классе сильно устойчивых систем вида (2).
Отношение гомотопии разбивает все сильно устойчивые системы (2) порядка 2п на классы. Оказывается, классы гомотопии естественно нумеруются 2™ наборами из п знаков «±» и еще одним целочисленным параметром. При этом число 2™ появляется как отношение порядков групп Вейля Wc и W, а в качестве целочисленного параметра выступает элемент фундаментальной группы ni(Sp(2ft, R)).
Рассмотрим отображение Gt:R2n-^-R27, сопоставляющее начальному условию л; (0) значение решения л: (^) уравнения (2) с этим начальным условием в момент времени t. Мы получаем непрерывно дифференцируемую кривую Gt в симплектической группе Sp (2п, R), которая однозначно определяет исходную си-
23 стему уравнений. Кривая Gt начинается в единице группы: G0 = E, и если t0 — период гамильтониана h, то Gi+t„ = GtGto. Преобразование G = Gv0 называется оператором монодромии системы (2). Устойчивость и сильная устойчивость системы (2) — это свойства ее оператора монодромии.
Теорема А. Система (2) устойчива тогда и только тогда, когда ее оператор монодромии диагонализуем и все его собственные числа лежат на единичной окружности.
Действительно, устойчивость системы (2) равносильна ограниченности циклической группы {Gm} оператора монодромии. Последнее означает, что замыкание этой группы в Sp(2«., R) компактно, т. е. оператор монодромии лежит в некотором торе TnCiSp (2п, R).
Мы можем считать Tn диагональной подгруппой группы унитарных преобразований пространства С". Тогда оператор монодромии устойчивой системы примет вид G = diag(?w,. . . ... ,Xn), 1^1 = 1.
Теорема Б. Система (2) сильно устойчива, если и только если между числами Xh нет соотношений вида XkXi= 1.
Замечание. Если оператор монодромии устойчивой системы имеет некратный спектр, то система сильно устойчива. Кратность спектра означает, что Xh = Xi либо XhXi=I. Эти уравнения выделяют неподвижные точки преобразований из группы Вейля Wc на торе Tn. Неподвижные точки преобразований из группы Вейля W задаются уравнениями Xh = Xi. Используя параметризацию Кэли, можно проверить, что разбиение на классы сопряженных элементов в окрестности оператора монодромии GeTn устроено так же, как и разбиение на классы эквивалентности квадратичных гамильтонианов в окрестности гамильтониана A=EtOft {ph2-{-qk2)/2. При этом соотношениям Xh = Xi^ отвечают кратные инварианты одного знака: = , а соотношениям XhXi= 1 — инварианты разных знаков: coft-f-coi = 0. Замечание в п. 3.4 объясняет, почему сильная устойчивость нарушается лишь во втором случае.
