Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
2) Жордановой клетке четного порядка sItt с собственным числом нуль отвечает гамильтониан ровно одного из двух видов
13 ±(ho+Pl_1l2)-
3) Паре жордановых клеток порядка п с ненулевыми собственными числами ± г отвечает гамильтониан одного из двух видов
± ^o +Pl_,l2-2 j
(при вещественном 2 эти два гамильтониана эквивалентны между собой, при чисто мнимом z — не эквивалентны).
4) Четверке жордановых клеток порядка т = п12 с собственными числами ± а ± b У — 1 отвечает гамильтониан
п-1
K+p2n_j2-^Akqk2l2,
/6=0
где
+ b2)2]т ¦
Теорема ([771). Вещественное симплектическое пространство, на котором задан квадратичный гамильтониан h, распадается в прямую косоортогональную сумму вещественных симп-лектических подпространств так, что форма h представляется в виде суммы элементарных форм в подходящих координатах Дарбу на этих подпространствах.
2.5. Зиакоопределенные гамильтонианы и принцип мини-макса1'. Положительно определенный квадратичный гамильтониан в подходящих координатах Дарбу имеет вид h = = Swft (Pft2+ ^ft2)/ 2, где . . .>(?>1>0. Для «частот» шй
имеется следующий принцип минимакса.
Кососимметрическая билинейная форма Q в подходящих декартовых координатах евклидова пространства Vn имеет вид Кр\ Mi + • • • - r'hPnMn, 2/7 < TV, A1 > A2 > ... > А„ > 0. Ориентированной плоскости LczVn сопоставим площадь s (L) единич. ного круга D (L) = {x(*L\ (х, х) <1} относительно формы Q-
Теорема.
min max S (L) = nKk, k=l,..., п.
Следствие. Инварианты Aft' ограничения формы Q на подпространство WN-MaVN удовлетворяют неравенствам Aft > >Aft' >'ки+м (мы полагаем Xm=O при тУп).
Например,
JtA,/ =maxS (I)CmaxS(L)=JiA1
Law LdV
'> Результаты этого пункта получены В. И. Арнольдом в 1977 году, в связи с гипотезой о полунепрерьівгіостй спектра особенности.
14 и
лV = max (L) > min max S (L) = nkM+i-
LdWN~M yN—Mf—yN L(—yN—M
Замечания. 1) Принцип минимакса Куранта (R. Courant)
ДЛЯ пары ЭрМИТОВЫХ форм В CnIU=^ZkZk, U' = ^ KkZkZkt X1 < ... < А-,,, утверждает, что ^ft = min max(U'/U) =
CkCLCn ссе*
= max min (U'/U). Отсюда легко вывести нашу теорему.
сп+1-кс-сп с(=сл+1-а
2) Принимая симплектическую структуру в R2n за й, а положительно определенный гамильтониан h за евклидову структуру, получаем принцип минимакса и аналогичные следствия для частот a)fe = 2/Aft. В частности, при увеличении гамильтониана частоты растут: 0)/^(0?.
§ 3. Семейства квадратичных гамильтонианов
Жорданова нормальная форма оператора, непрерывно зависящего от параметра, является, вообще говоря, разрывной функцией параметра. Вводимые ниже миниверсальные деформации— это нормальные формы семейств операторов, избавленные от указанного недостатка.
3.1. Понятие миниверсальной деформации. Оно относится к следующей абстрактной ситуации. Пусть на гладком многообразии M действует группа Ли G. Точки на M считаются эквивалентными, если они лежат в одной орбите, т. е. переходят друг в друга под действием этой группы. Семейством с пространством параметров (базой) V называется гладкое отображение V-wVf. Деформацией элемента х^М называется росток семейства (У, о)->-(М, х) (о— начало координат в F~R"). Говорят, что деформация <p: (V, о)-+(М,х) индуцирована из деформации о)-*(М,х) при гладком отображении баз
V : (V, о) -*¦ (W, о), если <р=г!ъ\\ Деформации ф, -ф : (V, о)->
(М, х) называется эквивалентными, если существует такая деформация единицы g: (V, o)->-(G, id), что <p(i>) = g(v)ty(v).
Определение. Деформация <p: (V, о)->-(т, х) называется версальной, если любая деформация элемента х эквивалентна деформации, индуцированной из ф. Версальная деформация с наименьшей возможной для версальной деформации размерностью базы называется миниверсальной.
Росток многообразия M в точке х, очевидно, является версальной деформацией для х, но, вообще говоря, не миниверсальной.
Пример. Пусть M — пространство квадратичных гамильтонианов в стандартном симплектическом пространстве R2n, G = Sp(2n, R)—группа симплектических линейных преобразований в R2". Следующая деформация (А,— параметры)
15 ТІ к =2 VPk+h2ft-1) {p2k-\Q2k — 42k-\P2k) — — (flk + ^2k) (р2к-іЯ2к-1 + Р2кЯік)\ +
т n
+ 2 (c> "Г РкЯк + 2 + ^ № + <?*2)12
0)
A=2j + 1 ft=r + l
является миниверсальной деформацией гамильтониана H0, если его спектр { + ak + Y-±ck, ± Y— 1^} некратный.
Пусть AcAi-подмногообразие. Говорят, что деформация ^:(1/, о) (М, л;) точки хвХ трансверсальна к X, если Vt(T0V)-L-TjcX = TxM (рис. 1).
нет
Рис. 1. Трансверсальность
Теорема версальности. Деформация точки хЪМ вер-сальна тогда и только тогда, когда она трансверсальна орбите Gx точки хв М.
Следствие. Число параметров миниверсальной деформации равно коразмерности орбиты.
Набросок доказательства теоремы (см. рис. 2). Выберем трансверсаль L в единице группы G к стационарной подгруппе
і. Gx
SU
S
Ia
M
X Stx= {g\gx = x) точки x?M и трансверсаль T в точке л: к ее орбите в М. Действие элементами из L на точки из T задает диффеоморфизм окрестности точки хв M прямому произведению LxT. Теперь каждая деформация <р : (V, о)->(М, х) автоматически принимает вид ф(о) =g(v)t(v), где g : (V, o)-v(G, id), t: (V, о)-+(Т, х).
