Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Рассмотрим абсолютно твердое тело, одна из точек которого закреплена в начале координат пространства R3. Конфигурационным многообразием такой системы является группа вращений SO3. Касательное пространство к конфигура-
47 ционному многообразию в каждой точке отождествляется с пространством R3: направление вектора wGR3 указывает ось и направление инфинитезимального вращения тела, а длина вектора—угловую скорость вращения. Кинетическая энергия вращения—T = Ia2/2, где / — момент инерции тела относительно оси вращения, т. е. кинетическая энергия задается во внутренних координатах тела квадратичной формой инерции. Таким образом, свободное вращение твердого тела, закрепленного в точке, описывается геодезическим потоком на группе SO3 ри-мановой метрики, (лево) инвариантной относительно сдвигов на группе,
1.2. Гамильтонова механика. Гамильтонова механическая система задается гладкой' функцией-—гамильтонианом — на симплектическом многообразии (фазовом пространстве). Движение в гамильтоновой системе описывается фазовым потоком соответствующего гамильтонова векторного поля (см. п. 3.1, гл. 2). Гамильтониан Н, явным образом зависящий от времени, задает неавтономную гамильтонову систему. В координатах Дарбу система уравнений Гамильтона имеет вид р = —Hq, q = Hp.
Механика Гамильтона обобщает механику Лагранжа.
Пример 1. Система уравнений Эйлера—Лагранжа натуральной системы с конфигурационным многообразием Al, кинетической энергией T и потенциальной U при изоморфизме касательного и кокасательного расслоений многообразия М, определяемом римановой метрикой 2Г, превращается в систему уравнений Гамильтона с гамильтонианом T +U относительно канонической симплектической структуры на пространстве кокасательного расслоения.
В общем случае определим гамильтониан Н\Т*М->R как послойное преобразование Лежандра лагранжиана L: TM-+ R. Преобразование Лежандра (А. М. Legendre) выпуклой функции / векторного аргумента D определяется как функция /* двойственного аргумента р формулой /* (р) — max [ ( р, v > —
V
— f (v)\ (рис. 12, ср. п. 1.1, гл. 5). Например, преобразование Лежандра евклидовой формы ( Av, v } /2 есть { р, А~хр ) /2.
Мы будем предполагать, что отображение TqM-+Tq*M: q^p=L-q — диффеоморфизм для каждого q^M. Тогда гамильтониан H — гладкая функция на пространстве кокасательного расслоения, H (р, q)=pq — L((q, q), где q определяется из уравнения p = L-q (q, q).
Теорема. При указанном отождествлении пространств касательного и кокасательного расслоений механическая система с функцией Лагранжа L переходит в гамильтонову систему с гамильтонианом Н.
48 Рис. 12
Рис. 13
Пример 2. Натуральная система в магнитном поле. Пусть лагранжиан есть сумма лагранжиана натуральной системы и дифференциальной 1-формы А на конфигурационном многообразии М, рассматриваемой как функция на TM, линейная по скоростям: L = T—U+A. Соответствующая система уравнений Эйлера — Лагранжа на TM гамильтонова с функцией Гамильтона Я = T +U относительно симплектической структуры ?2 + + dA, где — симплектическая структура примера 1. Если 1-форма А — многозначный «вектор-потенциал магнитного поля» dA, определенного однозначно на М, то фазовое пространство оказывается скрученным кокасательным расслоением (п. 4.2, гл. 2).
1.3. Принцип наименьшего действия. Тот факт, что задачи вариационного исчисления имеют гамильтонову природу, объясняется присутствием вариационного принципа в самом га-мильтоновом формализме. В основе этого принципа лежит следующее замечание: поле направлений гамильтонова векторного поля на неособой гиперповерхности уровня его гамильтониана совпадает с полем характеристических направлений этой гиперповерхности — полем косоортогональных дополнений ее касательных гиперплоскостей.
Пусть симплектическое многообразие M поляризовано: M = = Т*В, a, = Spkdqh— 1-форма действия на М.
Теорема (принцип наименьшего действия). Интегральные кривые поля характеристических направлений неособой гиперповерхности ТаТ*В, трансверсальной слоям кокасатель-ного расслоения Т*В-+В, являются экстремалями интеграла
действия а в классе кривых, лежащих на Г и соединяющих
* " *
слои TtgoB и TqiB точек q0 и qx базы В.
4—2538
49 Доказательство. Приращениг интеграла действия J a — J а (рис. 13) равно симплектической площади пленки,
y' v
соединяющей кривые у и у', и, в случае, если у — интегральная кривая, является бесконечно малым более высокого порядка, чем отличие кривых Y и "у'-
Замечание. Интегральные кривые неавтономной системы уравнений с функцией Гамильтона И (р, q, t) в расширенном фазовом пространстве R"* X R" X R являются экстремалями интег-t,
рала действия j (pdq — Hdt) в классе кривых t>-+(p(t), q(t), t)
и
с граничными условиями <?(^о) = <7о' <7(^i) = <7i-
Следствие. Материальная точка, вынужденная оставаться на гладком римановом многообразии, движется по геодезической
линии (т. е. по экстремали длины J dsj.
Действительно, в случае свободного движения с кинетической энергией T — (dsidt)2/2 параметр обеспечивающий фиксированное значение энергии И = T = h, должен быть пропорционален длине dt = ds/Y 2h, а интеграл действия принимает вид j' pdq = j pqdt = j 2Tdt =¦ У 2Їг j ds.
