Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
В случае, когда потенциальная энергия отлична от нуля, траектории натуральной системы также являются геодезическими некоторой римановой метрики: в области конфигурационного пространства, где U(q)<h, траектории системы с кинетической энергией T= (ds/dt)2/2, потенциальной U(q) и полной энергией h будут геодезическими линиями метрики (h—U(q))ds2.
В качестве применения рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле. При достаточно больших h риманова метрика (h.—U)ds2 определена на всем компактном конфигурационном пространстве SO3. Пространство SO3 не односвязно (оно диффеоморфно RP3 и имеет двулистное односвязное накрытие S3).
Выберем в классе всех нестягиваемых замкнутых кривых в SO3 кривую минимальной длины (это возможно [60]) относительно введенной римановой метрики. Мы получаем
Следствие. Твердое тело в любом потенциальном поле имеет по меньшей мере по одному периодическому движению при каждом достаточно большом значении полной энергии.
Можно показать [60], что на компактном римановом многообразии каждый элемент фундаментальной группы представляется замкнутой геодезической. Отсюда получается аналог предыдущего следствия для* любой натуральной системы с компактным неодносвязным конфигурационным пространством.
50 1.4. Вариационные задачи со старшими производными. Опишем гамильтонов формализм задачи минимизации функционала
ь
J'?(x<°>,.. ., x^)dt (2)
а
в классе гладких кривых х :R-^-R' с заданным на концах отрезка [а, Ъ] разложением Тейлора до порядка п включительно,, где лагранжиан L зависит от производных xlh) = dkx/dth кривой x(t) до порядка п+\. Экстремали функционала (2) удовлетворяют системе уравнений Эйлера — Пуассона
d d2 rf"+1
¦ ¦ ¦ +(" 5777-I ?,.(« + 1)=°' (3)
выражающей обращение в нуль первой вариации функционала: (2). Рассмотрим теперь лагранжиан L(x, y,...,z, w) как функцию точки кривой (х, у, .. ., z,w) : R-^R<n+2)Z, удовлетворяющей ограничениям dx = ydt, . . . , dz = wdt, и составим форму действия по правилу множителей Лагранжа:
а = рх (dx — ydt)-\ - ... -х-pz (dz — wdt) -\-Ldt = = LM*- у) + - ¦ ¦ +Pziz — w) + L (х, у,..., z, w)] dt.
Экстремали функционала | а удовлетворяют системе уравнений Эйлера —Лагранжа в R(2«+3K:
dL
х = у,..., Z=^; Px = Jx'
Ру=-Рх+д?---> Pz=---, 0=-^+?- (4)'
Эта система эквивалентна системе уравнений Эйлера —Пуассона (3). Введем симплектическую форму со — dpx/\dx + ... ... -\-dpz/\dz и определим с помощью преобразования Лежанд-ра по переменным w функцию Гамильтона H (х, у, -.., z, рг,...,ру, px)=pxy-\-...+pzW — L(x, y,...,z, W) (W (x, у,... ..., z, P2) определяется из уравнения pz = dL/dw). Система уравнений Гамильтона с гамильтонианом H и симплектической структурой со в R(2"+2)' вместе с уравнением pz = dLldw совпадает с (4). Таким образом, при условии выпуклости лагранжиана L(x{0),..., по переменным X^+1K система уравнений Эйлера—Пуассона (3) эквивалентна гамильтоновой системе (//, со)..
Выписав, таким образом, координатные формулы, мы теперь придадим инвариантный смысл как самой вариационной задаче (2), так и ее гамильтоновой версии.
При замене пространства R' на произвольное /-мерное многообразие Ai функционал типа (2) естественно задавать функцией Лагранжа L:J"+1-+ R на многообразии л + Ьструй в нуле кривых
4*
51 jc:R-+M. Многообразие Jn^ определяется по индукции вместе с проекцией У"+І -> Jn (рис. 14) как аффинное подрасслоение в касательном расслоении TJn, состоящее из тех касательных векторов IQTjttJn, которые при дифференциале .nJn-+
->Тпроекции я: Jn-+Jn^1 переходят в свою точку приложения: я* (§ = JnQTJn-1. При этом Jo = M, J1 = TM.
п
TJn -^J JU-1 __----^JJjI TJ0
i/l У\* с/1/ I
jn+1_ jn __ -jn-1 —_----„ j1 -> J0=M
JT
Рис. 14
Фазовым пространством гамильтоновой системы, отвечающей лагранжиану L: JnH ->-R, является пространство T*Jn кокасатель-ного расслоения с канонической симплектической структурой. Пусть функция L выпукла на каждом аффинном слое расслоения J11+1^Jn. Построим функцию H:T*Jn->R следующим образом-Ковектор р, приложенный в точке У6/и, определяет линейную неоднородную функцию на слое WdTjJn расслоения Jn+1-+Jn. Положим H (р) = max Ip (w) — L (®)).
Теорема Остроградского. Система уравнений Эйлера — Пуассона, которой удовлетворяют экстремали лагранжиана L : 7n+1->-R, где L — гладкая функция, строго выпуклая" на каждом слое расслоения Jn+1-*-Jn, эквивалентна гамильтоновой системе с фазовым пространством Т*1п и функцией Гамильтона Н.
Замечание. В случае явной зависимости лагранжиана функционала (2) от времени система уравнений Эйлера — Пуассона эквивалентна неавтономной гамильтоновой системе на расширеном фазовом пространстве RXT*Jn.
1.5. Многообразие характеристик. Предположим, что интегральные кривые поля характеристических направлений на гладкой гиперповерхности в симплектическом многообразии образуют гладкое многообразие (локально это всегда так). Мы будем называть его многообразием характеристик.
Теорема. Многообразие характеристик имеет симплекти-ческую структуру (она корректно определена условием: косо-скалярное произведение векторов, касательных к гиперповерхности, равно кососкалярному произведению их проекций вдоль характеристик).
