Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема об аффинной структуре. Слои лагранжева расслоения имеют каноническую аффинную структуру.
Доказательство. Пусть л : M-^-X— лагранжево расслоение. Тогда функции на X, рассматриваемые как гамильтонианы на М, задают там коммутирующие гамильтоновы потоки. Функция с нулевым дифференциалом в точке хбХ определяет поток, неподвижный на слое Jir1(X). Таким образом,
40 окрестность любой точки слоя является локальной орбитой действия без неподвижных точек аддитивной группы пространства Тх*Х.
Теорема Дарбу для расслоений. Лагранжево расслоение в подходящих локальных координатах Дарбу (р, q) задается проекцией на ^-пространство вдоль ^пространства.
Доказательство. Выбор лагранжева сечения лагран-жева расслоения отождествляет его (конструкцией из доказательства предыдущей теоремы) с кокасательным расслоением базы. Нетрудно проверить, что это отождествление — сим-плектоморфизм.
Задание в лагранжевом расслоении структуры кокасатель-ного расслоения называется поляризацией. Лагранжево расслоение вместе с поляризацией однозначно определяется своей 1-формой действия а в окрестности точки, где а обращается в нуль: симплектическая структура — это da, нулевое сечение состоит из точек, где а обращается в нуль, а эйлерово поле однородных растяжений в слоях кокасательного расслоения есть —La.
Мы видели, что лагранжево расслоение в окрестности точки пространства расслоения устроено стандартным образом — как кокасательное расслоение в окрестности точки нулевого сечения. Глобально картина совсем иная. Во-первых, слои лагранжева расслоения не обязаны быть изоморфными как многообразия с аффинной структурой, во-вторых, расслоения с одинаковыми слоями могут иметь различную глобальную структуру, наконец, изоморфные аффинные расслоения не обязательно изоморфны как лагранжевы расслоения (т. е. с сохранением симплектической структуры).
Назовем лагранжево расслоение полным, если его слои полны как аффинные многообразия0. В частности, лагранжево расслоение с компактным слоем полно.
Классификация лагранжевых слоев. Связная компонента слоя полного лагранжева расслоения аффинно изоморфна произведению аффинного пространства на тор.
Действительно, полнота расслоения означает, что каждая компонента слоя является факторпространством группы сдвигов Rn по дискретной подгруппе. Такие подгруппы исчерпываются решетками ZfeC=R", k^n.
Следствие. Связный компактный слой лагранжева расслоения — тор.
Опишем теперь полные лагранжевы расслоения с аффинным слоем. Скрученным кокасательным расслоением называется кокасательное расслоение л : Т*Х-*-Х с симплектической структурой в Т*Х, равной сумме канонической симплектической формы
То есть аффинные прямые, определенные локально, неограниченно продолжаются.
41 и формы я*ф, где ф — замкнутая 2-форма на базе X. Мы уже встречались с этой конструкцией в конце § 1.
Теорема. Скрученное кокасательное расслоение определяется классом когомологий формы ф в H2(X, R) однозначно с точностью до изоморфизма лагранжевых расслоений (тождественного по базе). Любое полное лагранжево расслоение со связным односвязным слоем изоморфно скрученному кокаса-тельному расслоению.
Доказательство. Пусть я : (М, ш) X — лагранжево расслоение, слои которого — аффинные пространства. Сечение s : X с» M определяет замкнутую форму ф = 5*со, причем а—л*ф — симплектическая структура на М, в которой s(X) — лагранжево. Принимая s за нулевое сечение, конструкцией теоремы об аффинной структуре отождествляем M с Т*Х. Замена нулевого сечения на s' изменяет ф на ds', поэтому класс [ф] G ^H2 (X, R) — единственный инвариант окрученного кокасатель-ного расслоения.
Пример топологически нетривиального лагранжева расслоения с компактным слоем нам уже встречался в п. 2.3 о кэле-ровых структурах: мы предъявили симплектическое многообразие M4, лагранжево расслоенное над тором T2 со слоем T2, не гомеоморфное T2XT2. Оказывается, компактность слоя лагранжева расслоения накладывает очень жесткие условия на его базу.
Теорема. База лагранжева расслоения со связным компактным слоем имеет каноническую целочисленную аффинную структуру (другими словами, в некотором атласе на базе функции перехода суть композиции сдвигов и целочисленных линейных преобразований в R").
Доказательство. Отождествление слоя Tn над точкой X базы X с орбитой группы Тх*Х задает в Tx* X решетку максимального ранга. Непрерывный базис такой решетки — это набор 1-форм Cti, - - - , а„ на X. Симплектичность сдвигов на векторы решетки в Т*Х означает, что эти формы замкнуты. Локальный потенциал (фь . . . , ф„) : этого базиса, dtfi = = Cti, определяет карту искомого атласа.
4.3. Пересечения лагранжевых многообразий и неподвижные точки симплектоморфизмов. Проблема существования периодических движений динамических систем привела Пуанкаре к следующей теореме.
Геометрическая теорема Пуанкаре. Гомеоморфизм плоского кругового кольца на себя, сохраняющий площади и сдвигающий граничные окружности в разные стороны, имеет не менее двух неподвижных точек.
Граничное условие в теореме означает, что отображение имеет вид X = x+f(x, у), Y=y+g(х, у), где X, х — радиальные, Y, у — угловые координаты в кольце, а функции f, g непрерыв-
