Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
'> То есть d2(L\w) >0.
52 Пусть гамильтонова система с гамильтонианом H имеет первый интеграл F, и M — многообразие характеристик гиперповерхности T7 = Const. Функция H постоянна на характеристиках этой гиперповерхности и определяет гладкую функцию H на М. Поле гамильтониана H на гиперповерхности Z7 = Const при проекции на M определяет гамильтоново векторное поле на M с гамильтонианом Н.
Следствие 1. Первый интеграл гамильтоновой системы позволяет понизить ее порядок на две единицы.
Параметризованные экстремали вариационной задачи (возможно, неавтономной) образуют симплектическое многообразие,, а именно, фазовое пространство соответствующей гамильтоновой системы (например, Т*1Л для задачи (2)). Из теоремы получаем
Следствие 2. Если ориентированные геодезические (не-параметризованные) риманова многообразия образуют гладкое многообразие, то оно является симплектическим.
Пример. Лучи (т. е. ориентированные прямые)в евклидовом пространстве R™ образуют симплектическое многообразие — многообразие характеристик гиперповерхности <р, р>=1 в Г* Rn. С точностью до знака симплектической структуры оно симплектоморфно кокасательному расслоению единичной сферы в R". На рис. 15 показано, как сопоставить лучу (ко) касательный вектор к сфере.
1.6. Кратчайший обход препятствия. Рассмотрим гладкую поверхность в пространстве как границу препятствия. Кратчайший путь между точками qo, q\ в обход препятствия (рис. 16) состоит из отрезков прямых и отрезка геодезической на его поверхности. Длина экстремалей — многозначная функция точки <7i с особенностями вдоль лучей, срывающихся с поверхности препятствия в асимптотическом направлении. Лучи, по которым выходящие из источника экстремали срываются с поверхности препятствия, образуют лагранжево много-
Рис. 15
Рис. 16
53 образне с особенностями в симплектическом многообразии всех лучей пространства (ср. п. 1.5).
Симплектический анализ задачи об обходе препятствия приводит к понятию триады в симплектическом пространстве. Триада (L, /, H) состоит из гладкого лагранжева многообразия L, гладкой гиперповерхности IbL (I — изотропное многообразие) и гладкой гиперповерхности H в объемлющем симплектическом пространстве, касающейся лагранжева многообразия в точках изотропного. Проекция изотропного многообразия вдоль характеристик гиперповерхности является лагранжевым подмногообразием в многообразии характеристик и имеет особенности в тех местах, где характеристики касаются /.
Возвращаясь к задаче об обходе препятствия в евклидовом (более общо — римановом) пространстве, свяжем с пучком геодезических на границе препятствия триаду в симплектическом пространстве TRn = Г*R™. Движение по прямым в Rri задается гамильтонианом h = (p, р>; пусть H~h~x (I)CrTRri — гиперповерхность его единичного уровня. Экстремали, выходящие из источника, на гиперповерхности F — границе препятствия — образуют пучок геодезических. Многообразие KczH касательных к геодезическим пучка единичных векторов лагранжево в TF = = T*F (длина экстремали — его производящая функция). Пусть L состоит из всевозможных продолжений ковекторов на F до ковекторов і] на Rn, приложенных в той же точке. Пусть l = H[\L. Нетрудно проверить (рис. 17), что H строго квадратично касается L вдоль I, т. е. (L, I, Н) — триада.
Обозначим через Tn,т росток в нуле следующей триады в симплектическом пространстве R2n с координатами Дарбу
(Pu ¦ ¦ ч Pm' pv-,pn-m> Qv ¦ ¦ •» Яп-т) ¦ L = {Р = P=°}>
/=?П{?Ш=0}, H={q„?i2+pmqm^ +... +р^+р^Щ.
Полезно сравнить уравнение гиперповерхности H с квадратичным гамильтонианом функционала / (dmx/dtm)2dt (пп. 2.3, 2.4,
54
Рис. 17 гл. 1 или п. 1.4, гл. 3). Экстремали функционала — многочлены x(t). Поэтому в пространстве многочленов возникает естественная симплектическая структура. Лагранжево многообразие с особенностями триады хт,т диффеоморфно раскрытому ласточкину хвосту Sm — многообразию многочленов степени 2т—1 с фиксированным старшим коэффициентом и нулевой суммой корней, имеющих корень кратности ^m. Многообразие Sm лагранжево в естественной симплектической структуре на пространстве многочленов.
Теорема ([4]). Росток триады общего положения в точке квадратичного касания гиперповерхности с лагранжевым многообразием симплектоморфен одному из ростков т„,гл, т^п.
Следствие. Росток лагранжева многообразия лучей, срывающихся с пучка геодезических общего положения на границе препятствия общего положения, симплектоморфен декартову произведению гладкого многообразия на раскрытый ласточкин хвост.
Пример. Касательная в точке простого перегиба кривой, ограничивающей препятствие на плоскости, является точкой возврата лагранжевой кривой, образованной касательными к границе препятствия. Такую же особенность имеет кривая Z2 на плоскости параметров семейства кубических многочленов t3 + qt + p, образованная многочленами с кратным корнем.
Пример триад показывает, что симплектическая версия вариационных задач может быть нетривиальной. Подробнее о задаче кратчайшего обхода препятствия см. п. 3.5, гл. 5, а так-же [3], [4], [29], [32], [59].
