Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Симплектическая геометрия " -> 24

Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.

Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия — Наука, 1985. — 136 c.
Скачать (прямая ссылка): simplekticheskayageometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 56 >> Следующая


Лемма Б. Если две функции в евклидовом пространстве таковы, что касательные плоскости к их поверхностям уровня в точках касания с некоторой фиксированной прямой ортогональны, то скобка Пуассона индуцированных функций равна нулю в точке, являющейся рассматриваемой прямой (рис. 22).

Действительно, при движении по касательной к нашей прямой геодезической первой поверхности уровня, касательная прямая поворачивается в направлении нормали к этой поверхности и, тем самым, с точностью до малых второго порядка, продолжает касаться той же поверхности уровня второй функции. Поэтому производная второй индуцированной функции вдоль гамильтонова потока первой равна нулю в рассматриваемой точке.

Рассмотрим теперь прямую общего положения в V. По теореме Шаля она касается п—-1-й квадрики конфокального семейства. Построим в окрестности точек касания п—1 функцию, поверхности уровня которых — квадрики нашего семейства. По лемме Б индуцированные функции на пространстве прямых находятся в инволюции. Характеристика на поверхности уровня одной из индуцированных функций состоит (по лемме А) из касательных прямых к одной геодезической соответствующей квадрики. Поскольку все индуцированные функции на этой характеристике постоянны, то теорема доказана.

f

Рис. 21

Рис. 22

60 Следствие. Геодезический поток на квадрике в евклидовом пространстве — вполне интегрируемая гамильтонова система.

Замечания. 1) Строго говоря, мы доказали теорему Якоби — Шаля для квадрик и прямых общего положения, но по непрерывности результат легко распространяется на вырожденные случаи.

2) Бескоординатность приведенных рассуждений позволяет распространить их на бесконечномерную ситуацию. Мы получаем большой запас вполне интегрируемых систем — геодезических потоков на бесконечномерных эллипсоидах, определяемых самосопряженными операторами в гильбертовых пространствах. Было бы интересно выяснить, что представляют собой эти системы для конкретных самосопряженных операторов, встречающихся в математической физике.

2.4. Пуассоновы пары. Пусть на многообразии M заданы две пуассоновы структуры У и W (см. п. 3.2, гл. 2). Говорят, что они образуют пуассонову пару, если все их линейные комбинации XV+yiW — также пуассоновы структуры. Используя скобку Схоутена [, ] (п. 3.2, гл. 2), находим, что кососиммет-рические бивекторные поля У, W на M образуют пуассонову пару тогда и только тогда, когда [У, У] = [W, W] = [У, W] =0. В следующей теореме мы, простоты ради, предполагаем, что M односвязно и пуассоновы структуры У и W всюду невырождены. Тем самым, на односвязном многообразии M определены две симплектические структуры У-1, W"1, скобки Пуассона V(f> §) и W(f> S) которых согласованы тождеством V(W(f,g),h) + W(V(f,g),h) + (ww)=0 для любых гладких функций f, g, h на М.

Теорема ([1]). Пусть на многообразии M задано векторное поле V, поток которого сохраняет обе пуассоновы структуры пуассоновой пары У, W. Тогда существует такая последовательность гладких функций {fh} на М, что a) f° — гамильтониан поля V относительно У; б) поле У-гамильтониана fk совпадает с полем W-гамильтониана fh+i; в) функции {fh} находятся в инволюции относительно обеих скобок Пуассона.

Доказательство. Поле v по условию гамильтоново для обеих симплектических структур. Пусть /о, /і — его гамильтонианы относительно У и W соответственно. Формальная выкладка на применение тождества [У, W]=0 показывает, что поток У-гамильтонова поля с гамильтонианом /і сохраняет скобку Пуассона W. Пусть J2— его ^-гамильтониан. Продолжая по индукции, получаем последовательность функций {fk}, удовлетворяющую а) и б). Пусть r>s. Тогда V(fr,fs) = = W(fr, fs+i) = V(fr-u fs+i) и т. д. В конце получим либо V(ft, ft), либо W(ft, ft), что доказывает в).

Пример. Цепочка Тоды (М. Toda). Рассмотрим натуральную систему в Ra" с гамильтонианом Я =

61 qN+1 = qi- Она описывает динамику N одинаковых материальных точек с одной степенью свободы каждая, соединенных по кругу, наподобие молекулы бензола, упругими связями с потенциалом еи — и, где u = qk — qk+\ — разность координат связанных соседей. Переходя в систему переменных uk^=qk — qkxи имеем следующие уравнения эволюции цепочки Тоды: Uk = pk — pk+A, pk = eUk~1 — — e"k. Обозначая dk = d/duk, Х7ь = д/дрк, положим !F=S (dk/\ Aoj+i +^VsA (?- ^-i) + Vl іЛ Vs). Непосредственно проверяется, что W — пуассонова структура в Ra. Положим V = = — дк_г). W, !/ — пуассонова пара. Действительно,

W V получается, из W сдвигом pk^ pk + X. В качестве потока, сохраняющего g6c структуры пуассоновой пары, рассмотрим поток поля v = 0. Полный импульс f(j = Ipk — функция Казимира для V, поэтому /о —17-гамильтониан поля v. Функция /0, рассматриваемая как !!/'-гамильтониан, порождает систему уравнений цепочки Тоды. В соответствии с теоремой эта система !/-гамильтонова с гамильтонианом /i = S(д%2/2-1 e"k). Система с !!/-гамильтонианом /г !/-гамильтонова с гамильтонианом /2= = S [Pk3I^jTPk (e11^1 +e"k)] и т. д. Возникающая серия /0, /і, /2 . .. первых интегралов в инволюции обеспечивает полную интегрируемость цепочки Тоды (см. статью Б. А. Дубровина, И. М. Кричевера, С. ГІ. Новикова).
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed