Симплектическая геометрия - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ih (t) =Ih (0), щ (0 = <ph (0) -hdff/dlh I m ¦ t.
57 При построении переменных действие-угол, помимо дифференциальных и алгебраических операций над функциями, применялось только обращение диффеоморфизмов и интегрирование известных функций — «квадратуры». В таком случае говорят, что исходную систему уравнений удалось проинтегрировать в квадратурах.
Следствие. Вполне интегрируемая система интегрируется в квадратурах.
Теорема Лиувилля охватывает практически все проинтегрированные на сегодняшний день задачи гамильтоновой механики. Но она ничего не говорит о том, как найти полный набор первых интегралов в инволюции. До недавнего времени, по-су-ществу, единственным глубоким средством интегрирования был метод Гамильтона — Якоби (см. п. 4.4, гл. 4). После открытия бесконечномерных интегрируемых гамильтоновых систем (начиная с уравнения Кортевега — де Фриза) было обнаружено много новых механизмов интегрирования. Все они связаны с дополнительными алгебро-геометрическими свойствами фактически проинтегрированных систем, никак не отраженными в теореме Лиувилля. Мы приведем ниже ряд иллюстрирующих примеров.
2.3. Эллиптические координаты и геодезические на эллипсоиде. Пусть E : V-+V*— линейный оператор, задающий евклидову структуру в пространстве V, А : V-+V* — другой симметрический оператор, A* =A. Евклидовым пучком квадрик называется однопараметрическое семейство гиперповерхностей второй степени (А,X, х) = 2, где A1 = A—XE. Конфокальным семейством квадрик в евклидовом пространстве называется семейство квадрик, двойственных квадрикам одного .евклидова пучка, т. е. семейство Е> = 2, geV*.
Пример. Плоские кривые, конфокальные фиксированному эллипсу, это все эллипсы и гиперболы с теми же фокусами (рис. 20).
Эллиптическими координатами точки называются значения параметра X, при которых квадрики фиксированного конфокального семейства проходят через эту точку.
58
Рис. 20 Зафиксируем в евклидовом пространстве эллипсоид, все оси которого имеют неравные длины.
Теорема Якоб и. Через каждую точку /г-мерного евклидова пространства проходят п квадрик, конфокальных выбранному эллипсоиду. Гладкие конфокальные квадрики пересекаются под прямыми углами.
Доказательство. В терминах двойственного пространства теорема означает, что гиперплоскость </, хУ = \ касается ровно п квадрик евклидова пучка, причем радиус-векторы точек касания попарно ортогональны. Указанное свойство вытекает из того, что эти векторы определяют главные оси квадрики <Ax, х> = 2</, х>2.
Теорема Шаля (М. Chasles). Общая прямая в n-мерном евклидовом пространстве касается п—1-й различной квадрики семейства конфокальных квадрик, причем плоскости, касающиеся каждая своей квадрики в точке ее касания с прямой, попарно ортогональны.
Доказательство. Видимые контуры квадрик конфокального семейства при проектировании вдоль прямой образуют семейство квадрик, двойственное семейству квадрик в проходящей через нуль гиперплоскости двойственного пространства. Последнее семейство есть просто сечение гиперплоскостью исходного евклидова пучка и потому образует евклидов пучок в гиперплоскости. Таким образом, видимые контуры образуют конфокальное семейство квадрик в п—T-мерном пространстве прямых, параллельных данной. Теорема Шаля вытекает теперь из теоремы Якоби, примененной к этому семейству.
Теорема Якоби — Шаля. Касательные прямые к геодезической линии квадрики в n-мерном пространстве, проведенные во всех точках геодезической, касаются, кроме этой квадрики, еще п—2-х конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической.
Доказательство. Многообразие ориентированных прямых в евклидовом пространстве V имеет естественную симп-лектическую структуру и, с точностью до знака этой структуры, с.имплектоморфно кокасательному расслоению единичной сферы 5 (см. п. 1.5). Пусть F— гладкая гиперповерхность в V.
Лемма А. Отображение р, сопоставляющее точке геодезической линии на F ее касательную прямую в этой точке, переводит геодезические F в характеристики гиперповерхности PczT*S касательных к F прямых в пространстве всех прямых.
Действительно, геодезические на F — это характеристики на гиперповерхности Gc:T*F всех единичных (ко)векторов на F. Отождествляя V с V* при помощи евклидовой структуры, рассмотрим G как подмногообразие G коразмерности 3 в Т* V всех единичных векторов в V, касающихся F. На коммутативной диаграмме рис. 21 л2 есть проекция вдоль характеристик гиперповерхности {(р, q) | </?, р> = 1} всех единичных векторов
59 в У, а яі — вдоль характеристик гиперповерхности {(р, ?)| I q&F} всех векторов, приложенных в точках F. Отображения
G-<— G-+P переводят характеристики в характеристики, так как характеристики на б, G и P определяются только симплек-тическими структурами объемлющих пространств. Поэтому отображение р переводит геодезические на F в характеристики Р.
Пусть теперь в евклидовом пространстве V задана гладкая функция и пусть некоторая прямая квадратично касается поверхности уровня в некоторой своей точке. Тогда близкие прямые касаются близких поверхностей уровня функции. Определим индуцированную функцию в пространстве прямых, равную значению функции в точке касания прямой с ее поверхностью уровня.
