Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Рассмотрим отображения многообразий одинаковой размерности (т=п). Коразмерность множества Efc (/) точек, где ранг «хорошего» отображения падает на к единиц, равна к2.
С другой стороны, отображение «общего типа» хорошее, так как каждое отображение можно аппроксимировать хорошим (по сильной теореме трансверсальности).
Отсюда следует, что, например, особенность E2 имеет коразмерность 4 и не должна, вообще говоря, наблюдаться при отображениях плоскости на плоскость (см. рис. 15—17). Но она может наблюдаться как неустранимая при отображениях Rn -*¦ R", п >4.
Пример. Два хороших отображения f±: R4 -»¦ R4, заданные формулами
JZi = xi>
-2?'
Уз = Хз і Хі Х1Х3 Х2Х1' У і = хзхі,
имеют в нуле неустранимую точку E2'
Ниже будет показано, что ростки /± в нуле не эквивалентны. Отсюда следует, что классификация особенностей по классам Ej — неполная.
2.5. Формула Боардмана для коразмерности множества E7.
Пусть I = (J1, Z2, . .., ік). Формула Боардмана для коразмерности множества E7 имеет вид
Vj (т, п) — (п — т -+- ij) [л (I1, г2, • . ., ifc) —
— (h — h) Sa (*а. къ **)—•¦• — (iZt-I — lk) Sa (**)>
где [J. (гх, . . ., ik) есть число последовательностей /а, . . ., jk целых чисел, удовлетворяющих условиям:
а) h > 7« > • • • > /*;
б) ir ^ Ir ^ 0 Для всех r (1 ^s r 5^ к)> причем J1 > 0. 3S
ОСНОВНЫЕ понятий
[ГЛ. 1
Смысл величины р. (I) и происхождение этой формулы рассмотрим позже, а сейчас разберем простейшие частные случаи.
Пример. При &=1 имеем I=і, У- (i) = U получается v. (т, п)= =(п—m-\-i)i, т. е. формула произведения корангов.
Пример. При / = (1, 1, . . ., 1) имеем р.(1,1, . . ., 1) = к,
к
Vj(т, п) = (п— т-\-1)к.
В частности, уитнеевская особенность класса E1' 1 имеет при тп=п коразмерность 2 и поэтому при отображениях плоскости на
плоскость неустранима в отдельных точках, при отображениях R3-^-R3 — на кривых и т. д.
Б. Морен исследовал хорошие отображения класса E1'*>¦¦•. о ПрИ всех т, п (см. [158 ]). Оказалось, что они всегда устойчивы, если тп ^ vj=(« — т -f-1) к, и полностью характеризуются своим классом. Например, при хорошем отображении.! /: RnR" эквивалентны утверждения:
і, 1,..1, о
а) » (/).
б) Росток / в X эквивалентен ростку «обобщенного отображения Уитни» в точке 0:
Уі = хі,
Уп-1 — Хю-1' г/»•
В частности, отображение Уитни R3-> R3 задается формулами іZ1 = X1, у2 = хг, Dz = Xi3-^rX1Xl + X2X3. Множества E11E1'1, E1-1,1 для такого отображения образуют флаг (плоскость, прямая, точка). Поле ядер изображено на рис. 26, а поверхность критических значений — на рис. 27. Эта поверхность называется ласточкиным хвостом. Ласточкин хвост можно представлять себе как поверхность в трехмерном пространстве многочленов вида a^+aa^+foc+c, состоящую из точек (а, Ъ, с), отвечающих многочленам с Кратными корнями. Ласточкин хвост делит пространство многочленов R3 на 3 области: в одной из них (имеющей вид пирамиды) многочлен имеет 4 вещественных корня, в соседней с ней — 2, в оставшейся — ни одного. В соответствии с этим число прообразов отображения Уитни в областях, ограниченных множеством критических значений, равно 4, 2 и 0.
Чтобы представить себе ласточкин хвост, полезно изучить его сечения плоскостями a =const. Если t — кратный корень, то
Г Zu 7
\ \ \ \ \ ч \
I I і f і >4 і і
/ * / / / / / S КЛАССЫ S*
39
с=—t4—at2—bt, b=—4 і3—2at. Это дает параметрическое уравнение сечений в виде с 6=—At3—2at. При а= О сечение является параболой степени 4/3, при а > 0 сечение — гладкая кривая, при а <С 0 сечение имеет 2 полукубические точки возврата (отвечающие S1,1) и точку самопересечения.
При п = 3 всякое отображение «-мерного многообразия в «-мерное аппроксимируется отображениями, имеющими только особенности Уитни E1 (складка), E1'1 (сборка) и E1' 1 (ласточкин хвост). При п = 4 это уже не так (появляется E2).
Пример. При I = (i,i) имеем р. (і, у) = і (1 —|— 7)--^—-
откуда получается формула Левина:
V», J (т, п) = (п - т і) І+І [(« - т + І) (2і -J-Jr 1) - 2і + 2Ц
В частности, при т = п
Vif ДП, п) = і2+і[2і2-і/ + 2/-і].
Отсюда следует, что особенность класса Es J впервые появляется как неустранимая при тп = п, указанном в следующей таблице:
i, j I 1,0 I 1,1 I 2,0 I 2,1 I 2,2 3,0 3,1 3,2|3,3|4,0|4,1|4,2|4,3| 4,4
vf) у= л J 1 j 2 j 4 j 7 j 10 9 16 22 I 27 j 16 j 29 j 40 j 49 j 56
Пример. При тп=п ^ 16 реализуются как точечные (у хороших отображений) следующие классы:
п = V1 Tl 4 7 9 10 13 15 16
I 1» 2 2,1 3 2,2 2,12 2,13 2, 2,1 3,1 4 2,11
где 1я означает 1,1,. . ., 1.
V iu
ОСНОВНЫЕ понятия
[ИІ, і
Определение Ej по Боардману. Мы дадим здесь это определение в неинвариантных терминах, использующих локальные системы координат X1, . . ., хт на Mm и yv . . ,, уп на Nn.
Определение. Пусть В — идеал в алгебре А ростков бесконечно дифференцируемых функций ср(X1, . . хт) в нуле. Якобие-вым расширением Ak(B) называется идеал, натянутый на В, и
все якобианы порядка k: det
д<?(
dxJ
