Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
граммы Юнга разрешается писать те переменные х{, которые в нулевой строке стоят не левее заполняемой клетки. Произведения всех переменных, записанных в одном столбце диаграммы Юнга при всевозможных заполнениях и столбцах, порождают стандартный идеал (это — очевидная переформулировка определения). Например, на рис. 29 приведено заполнение диаграммы Юнга, указывающее на вхождение в стандартный идеал одночленов X1, х2, xxxf, х|х4, xfxi?.
Чтобы явно описать носитель стандартного идеала, удобно рассмотреть еще символ двойственной диаграммы Юнга. Обозначим через кг число клеток диаграммы Юнга в столбце, в котором в нулевой строке стоит хг (т. е. в г-м столбце справа). На рис. 29 числа кг написаны под соответствующими столбцами. Если читать числа кг от кт до A1, то получится невозрастающая последовательность. Она является символом диаграммы Юнга, двойственной к исходной (т. е. получающейся из исходной при замене строк столбцами). В примере 2 двойственная диаграмма имеет символ (p+q+i, р+1), т. е. Zc1=P+!, fc2=p+g+l.
Стандартный идеал описывается через символ двойственной диаграммы следующим образом. Точка р=(рг, . . ., рт) принадлежит носителю стандартного идеала (т. е. одночлен жр входит в стандартный идеал), если и только если выполнено хоть одно из неравенств
Pi>Ai> Pi + Pi > Pi + Pa + Рз ^ ¦ • •
Ряд не входит в стандартный идеал, если в него входит с ненуле- КЛАССЫ S*
43
вым коэффициентом хотя бы один одночлен Xv, для которого выполнены все неравенства
Pl<&1, Pl+Pa<ft2. Pl + P2+Ps<k3, ...
Последняя система неравенств определяет выпуклый многогранник, являющийся дополнением к носителю стандартного идеала в положительном ортанте диаграммы Ньютона. Мы будем называть его стандартным многогранником. Заметим, что мы включаем в стандартный многогранник точки на координатных плоскостях, но исключаем точки, для которых предыдущие неравенства обращаются в равенства.
Предложение. Число Боардмана (х (I) равно уменьшенному на 1 числу целых точек в стандартном многограннике.
Иными словами, число Боардмана равно коразмерности стандартного идеала в максимальном идеале ш (т. е. в идеале, образованном рядами без свободного члена).
Доказательство. Пусть T' ^ T — невозрастающая последовательность целых чисел s> 1, удовлетворяющая условиям 0 ^ Vs ^ it. Тогда стандартный многогранник, соответствующий /', лежит (нестрого) внутри стандартного многогранника, соответствующего I. Обратно, всякий стандартный многогранник, лежащий (нестрого) внутри стандартного многогранника, соответствующего /, отвечает символу /' T (все это вытекает из того, что уменьшение диаграммы Юнга уменьшает и двойственную диаграмму).
Рассмотрим теперь целую точку р—(рг, р2, • .., Pm), Для которой p1=Zc1-I, P1+P2=Zc2-1, рі+рг+рз =^s-I, ... (на рис. 28 эта точка обозначена знаком *). Эта точка однозначно определяет символ [ks), а значит, и диаграмму Юнга, и двойственную диаграмму; пусть ее символ I'={i'r). Последовательность I' удовлетворяет условию I' ^ I, если и только если соответствующая ей точка р принадлежит стандартному многограннику для I. Поэтому число целых точек в стандартном многограннике равно числу последовательностей Г =?^ I. Условие V1 > 0 в определении числа Боардмана р (I) исключает точку р =0, откуда и получается искомая формула
іа'(/) = dimc m
Задача. Найти символ Боардмана стандартного идеала Ji-, т (определение дано на стр. 40).
Ответ. Т.
Задача. Доказать, что при добавлении к стандартному идеалу хотя бы одного ряда, не входящего в этот идеал, символ Боардмана получаемого идеала изменится (уменьшится).
Указание. См. 1), 2), 3) ниже (стр. 44). iu
ОСНОВНЫЕ понятия
[ИІ, і
Задача. Доказать, что число E (I) не зависит от т (предполагается, что т ^ I1).
2.7. Описание классов Боардмана по Мазеру. Работа Боардмана неоднократно переизлагалась (см. [159], [153], [176]). Ниже приведены основные этапы доказательства теоремы Боардмана, данного Дж. Мазером [153].
Будем обозначать максимальное якобиево расширение идеала / (в алгебре формальных степенных рядов от т переменных с комплексными, для определенности, коэффициентами) через о/.
Определим оператор 8 боардманизации идеала формулой
?/ = 7 + (Uf -+ (S2/)3 + . . . + (bkJ)k+1 -f . . .
Замечание. В этих обозначениях символ Боардмана I(J) = — (li ^ h ^ • • ••) идеала J выражается следующим образом:
ix = corank 7, г2 = corank §7, • . •, ik = corank Sfc-1/.
Здесь под рангом идеала в алгебре формальных рядов понимается максимальное число независимых координат, которые можно выбрать из входящих в идеал рядов:
г = rank 7 = dim (7 -(- m2)/m2.
Корангом идеала называется разность между числом переменных и рангом:
corank J = т — г.
Максимальное якобиево расширение 8/ идеала J записывается в этих обозначениях так: о/ =Ar^1/, r=rank J (порядок присоединяемых миноров на единицу больше ранга идеала).
Предложение. Идеал J имеет символ Боардмана I тогда и только тогда, когда его боардманизация ?7 эквивалентна стандартному идеалу Jli „,.
