Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
31
этот диффеоморфизм не канонический (зависит от выбора систем координат), поэтому естественной линейной структуры в слое нет.
Пусть /: Mm Nn — гладкое отображение.
Определение, к-струйным расширением отображения / называется отображение из Mm в пространство /с-струй из Mm в N", сопоставляющее каждой точке х из M к-струю отображения / в этой точке.
Обозначение, fc-струйное расширение отображения / обозначается через ff: M-m^ Jk (Mm, ЛГ), X^jkJ.
Заметим, что jkf — гладкое сечение естественного расслоения Jk (М, N)-*M.
Сильная теорема трансверсальности (Тома). Пусть Mm — замкнутое многообразие и С — замкнутое подмногообразие пространства струй Jk (M, N).
Тогда множество отображений /: M N, k-струйные расширения которых трансверсалъны к С, есть открытое всюду плотное множество в пространстве всех гладких отображений из M в N.
Эта теорема означает, что малым шевелением гладкого отображения можно привести его в общее положение не только по отношению к любому гладкому подмногообразию в пространстве-образе, но и по отношению к любому условию, наложенному на производные любого конечного порядка.
Замечание. Слабая теорема трансверсальности получается из сформулированной при к=0. Сильная же из слабой непосредственно не вытекает по следующей причине.
Можно было бы применить слабую теорему к отображению jkf: M —> Jlc и получить близкое к jkf трансверсальное к С отображение. Однако это близкое отображение, вообще говоря, не будет ,fc-струйным расширением никакого гладкого отображения из Af в N.
Сильная теорема трансверсальности утверждает, что трансвер-сализирующую деформацию можно выбрать в более узком классе деформаций: достаточно ограничиться деформацией ^-струйного расширения в пространстве ^-струйных расширений, а не в пространстве всех сечений M Jk. Таким образом, теорема означает, что условия интегрируемости (выполнение которых отличает fe-струйные расширения отображений из M в N от произвольных сечений M -» Jk) не мешают достигнуть трансверсальности.
Доказательство теоремы. Сущность доказательства состоит в такой же редукции к лемме Сарда, как и для слабой теоремы трансверсальности. Основное отличие состоит в том, что трансверсализирующая деформация ищется не в классе отображений /е=/—s, а в более широком классе полиномиальных деформаций /.=/+ • • -+Ms. где ei — всевозможные вектор-мономы степени не выше к. iu
ОСНОВНЫЕ понятия
[ИІ, і
Лемма. 1. Рассмотрим гладкое отобралсение F: AxE —> В прямого произведения гладких многообразий AuEe гладкое многообразие В.
Будем рассматривать F как семейство отображений Fb многообразия А в В, зависящих от точки є многообразия E как от параметра. Тогда, если отображение F трансверсально к подмногообразию С многообразия В, то почти каждый член Fs: А В соответствующего F семейства трансверсален к С.
Доказательство. Рассмотрим F'1 (С). По теореме о неявной функции это — гладкое подмногообразие в Ax Е. Рассмотрим проекцию этого подмногообразия на E вдоль А. По лемме Сарда почти все значения — не критические. Пусть є — не критическое значение. Тогда Fe: А ~> В трансверсально к С (ибо F трансверсально к С, а А X є трансверсально к F'1 (С)). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть f — гладкое отображение из Rnt в R". Зафиксируем в Rm и -в IR" системы координат и рассмотрим гладкое отображение прямого произведения пространства Rct на пространство R* в пространство k-струй отображений Jk (R'", R"), определенное формулой
где / =/^(- S1^1-J- ... -j- е»в,(вц • • ¦> es — всевозможные произведения мономов степени не выше к от координат точки х из Rm на базисные векторы в R").
Утверждается, что построенное отображение не имеет особых значений (и, следовательно, трансверсально любому подмногообразию пространства к-струй).
Координатами в пространстве Jk являются координаты точки X из Rm и коэффициенты Тейлора струи в этой точке до степени к включительно. При подходящем выборе коэффициентов е,, . . ., е„ вектор-многочлен S1C1+- • ¦ + 2se, будет иметь в любой наперед заданной точке X любой наперед заданный набор коэффициентов Тейлора до членов степени к включительно. Отсюда непосредственно вытекает утверждение леммы.
Окончание доказательства теоремы. Пусть С — гладкое подмногообразие в В = Jk (R"1, R"). Применим к отображению леммы 2 лемму 1 (в которой А = Rm, .S = R*; F (х, в) = /*Zs). По лемме 1 для почти всех s отображение Fe = F(-, є) трансверсально к С. Выбрав е достаточно малым, мы получим сколь угодно близкое к Z (в любой конечной части Rm) отображение fe: Rm-^R", fc-струйное расширение которого трансверсально к С. Переход от этой локальной конструкции к глобальной (замена R"1, R" на М, N) не представляет затруднений.
Замечание 1. Если С не замкнуто, то «открытое» в слабой ц тем более сильной теоремах трансверсальности следует замениіь §21
КЛАССЫ Sr
33
на «счетное пересечение открытых». Примеры: 1) В — тор, С — его обмотка, А — окружность; 2) В — плоскость, А — окружность на ней, С — касательная (без точки касания). Вложение трансверсально к С, но существуют сколь угодно близкие к этому вложению не трансверсальные к С отображения.
