Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 2. Если отображаемое многообразие не компактно, то пространство отображений удобно снабжать «тонкой топологией Уитни». В этой топологии окрестность отображения /: А -*¦ В определяется следующим образом. Фиксируем открытое множество G в пространстве струй J (А, В) при каком-либо к. Множество С°°-отображений /: А -*¦ В, к-струи которых в каждой точке принадлежат G, открыто в тонкой топологии. Такие непустые открытые множества берутся в качестве базиса окрестностей, задающих тонкую топологию в пространстве бесконечно дифференцируемых отображений.
Таким образом, близость двух отображений в тонкой топологии означает сколь угодно быстрое сближение отображений (с любым числом производных) «на бесконечности»; в частности, график достаточно близкого к / отображения лежит в сколь угодно быстро утончающейся «на бесконечности» окрестности графика отображения /.
Отсюда следует, что сходимость последовательности в тонкой топологии влечет полное совпадение вне некоторого компактного множества всех членов последовательности, начиная с некоторого. Тем не менее любая окрестность данного отображения в тонкой топологии содержит отображения, нигде не совпадающие с данным.
Если открытость и всюду плотность понимать в смысле тонкой топологии, то теорема трансверсальности верна и для некомпактных А (для открытости С должно быть замкнутым).
Замечание 3. Часто встречается ситуация, когда С не гладкое подмногообразие, а подмногообразие с особенностями.
Определение. Стратифицированным подмногообразием гладкого многообразия называется конечное объединение попарно непересекающихся гладких многообразий (стратов), удовлетворяющее следующему условию: замыкание каждого страта состоит из него самого и конечного объединения стратов меньших размерностей.
Отображение называется трансверсальным стратифицированному подмногообразию, если оно трансверсально каждому страту.
Пример. Пусть С — объединение двух пересекающихся по прямой плоскостей в трехмерном пространстве, стратификация — разбиение на прямую пересечения и четыре полуплоскости. Трансверсальность к С означает трансверсальность к каждой из плоскостей и трансверсальность к прямой пересечения. Например, кривая, трансверсальная к стратифицированному многообразию С, не пересекается с прямой особенностей С,
3 в. И. Арнольд и др. iu
ОСНОВНЫЕ понятия
[ИІ, і
Теоремы трансверсальности очевидным образом распространяются на случай стратифицированного подмногообразия С. Однако в этом случае теорема гарантирует, что трансверсальные отображения образуют не открытое всюду плотное множество, а лишь всюду плотное пересечение счетного числа открытых множеств.
Чтобы трансверсальные к стратифицированному аналитическому многообразию отображения образовывали открытое всюду плотное множество, достаточно, чтобы стратификация удовлетворяла следующим дополнительным условиям: всякое вложение, трансверсальное к страту меньшей размерности, трансверсально ко всем примыкающим стратам большей размерности в некоторой окрестности этого страта меньшей размерности *).
Пример 1. Пусть С — конечное объединение плоскостей в линейном пространстве, стратифицированное естественным образом (например, пара пересекающихся плоскостей в R3).
Из трансверсальности к Rfc следует трансверсальность к объемлющему R', поэтому наше условие выполнено.
Пример 2. Пусть С — конус х2 = у2 -[- z2 в R3, стратификация — разбиение на тонку 0 и две полы. Наше условие, как нетрудно проверить, выполнено.
Пример 3. Пусть С — зонтик Уитни, заданный уравнением У\ = У3УІ В R3 (рис. 19).
Из трансверсальности к особой прямой JZ1==JZ2=O не следует трансверсальность к многообразию близких к этой прямой регулярных точек поверхности (плоскость г/3 = 0 трансверсальна прямой и не трансверсальна поверхности).
Если условие на стратификацию С (трансверсальность к меньшему => трансверсальность к большему) выполнено, то трансверсальность ко всей стратификации достигается так.
1. Страты минимальной размерности гладкие, к ним применима обычная теорема. 2. В окрестности стратов минимальной размерности трансверсальность достигнута на всех стратах. 3. Выкидываем из объемлющего многообразия замыкание окрестности стратов минимальной размерности и переходим к стратам следующей размерности.
Пример. Пусть В — пространство линейных операторов Ъ: Rm R", С — множество операторов не максимального ранга. Операторы ранга г образуют гладкое подмногообразие, коразмерность которого в пространстве В равна (т—г)(п—г). Разбиение на многообразия операторов различных рангов задает стратификацию на С.
*) Это верно также для стратифицированных многообразий, получающихся из аналитических диффеоморфизмами, но не всегда верно для Cm-стратифицированных многообразий (см. fl84]). КЛАССЫ Sj
35
Отображение /: А -* В — это семейство линейных операторов из Rm в R", гладко зависящих как от параметра от точки многообразия А. Многообразие А называется базсй семейства. Из слабой теоремы трансверсальности сразу вытекает
Следствие. В пространстве гладких семейств матриц порядка тХп всюду плотное множество образуют семейства, трансверсалъные стратицированному многообразию С матриц не максимального ранга.
