Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Изображенная поверхность пересекает плоскости zz3=const по парам прямых у\—ау\, а плоскости г/2=Const — по параболам уз~Ъу?. Поэтому ее уравнение имеет
вид уІ=УзУЬ
Замечание. Написанному уравнению удовлетворяют в R3 как точки нарисованной поверхности, имеющей линией самопересечения положительную полуось у3, так и все остальные точки оси у3. Поэтому множество, заданное этим уравнением, действительно имеет . вид своеобразного зонтика, ручка которого — это отрицательная полу- Рис. 19. ось у3.
Задача. Найти гладкое отображение R2 R3, образом которого является зонтик Уитни (без ручки).
Ответ. jz1=x1x2, г/2=х2, jz3=x?.
О пределение. Особенностью Уитни отображения R2 -* R3 называется росток отображения плоскости в пространство в нуле, заданный предыдущей формулой.
Уитни доказал, что эта особенность устойчива, что всякое отображение компактного двумерного многообразия в трехмерное аппроксимируется устойчивыми отображениями и что устойчивые отображения не имеют других особенностей (см. [199], [200]).
1.10. Другие размерности. Общее отображение окружности в трехмерное пространство не имеет никаких особенностей: малым шевелением можно избавиться от них. Уитни доказал (еще в 30-х годах), что гладкое отображение /: Mm -* Nn общего положения не имеет особенностей (т. е. является вложением), если размерность пространства-образа достаточно велика, а именно если п 2т *). При п=2т особенности также легко перечисляются
*) Размерность пространства хорд вложенного в Rfe многообразия Mm равна 2т, пространства касательных — 2т— 1, пространства направлений прямых в Rfc — k—1. Поэтому проекция Mm в Ra"1 почти для всякого направления проектирования является вложением, если A>2m-j-l. При достаточно большом к гладкое отображение Mm в R4 легко аппроксими- iu
основные понятия
[ИІ, і
(появляются лишь трансверсальные самопересечения образа). См. [197] — [200].
Противоположный случай малой размерности образа — это случай одной функции, ге=1. В этом случае все особенности отображения общего положения также устойчивы, все устойчивые отображения локально задаются конечным списком (у=х или J/=±*?± • • -±а?).
> п2 т і-ттж шшш -
ИІ
H OO
Рис. 20.
На рис. 20 отмечены на плоскости (т, п) значения размерностей пространства прообраза и образа, которые мы рассмотрели до сих пор. Для всех этих размерностей отображения общего положения устойчивы. Оказывается, столь хорошее положение имеется не при всех (т, п). Например, при т=п—9 устойчивые отображения не плотны в пространстве всех отображений и не существует конечного списка особенностей отображений общего положения. Классы дифференцируемой эквивалентности особенностей отображений общего положения в точке образуют в этом случае не дискретное, а непрерывное множество (существуют непрерывные инварианты особенностей, так называемые модули). Более того, при больших in и п число модулей само становится бесконечным и типы особенностей начинают зависеть от произвольных функций, число аргументов которых растет с ростом размерностей. Мы вернемся к этому вопросу в § 3 (п. 3.7, стр. 55).
ровать вложением. Проектируя (RfcRft-1____-+Rsjn+1), получаем вложение Mm в Rsm+J. классы s*
23
§ 2. Классы Е*
Здесь особенности классифицируются по рангу первого дифференциала отображения и по рангам его сужений на подмногообразия особенностей.
2.1. Классификация по вырождению первого дифференциала. Пусть /: Mm Nn — гладкое отображение, TxMm -* TfwNn — его производная в точке х.
Определение. Точка х называется точкой класса Е* дл>tj/, если размерность ядра f^ равна і. Все точки класса 2* для / образуют подмножество в М, называемое множеством для / и обозначаемое Е* (/).
Пример. Для отображения сборки Уитни (рис. 21)
M = R2, N = R2, ^(X1, х2) = xf + X1X2,
f2 (X1, X2) = X2
все критические точки — класса Б1, а некри тические — класса E0.
Замечание. В частности, точки складки и точки сборки — одного класса E1. ..J¦ <аг.
Особенность отображения и>=22 вещественной Д: плоскости в нуле — класса E2. По теореме Уитни общие отображения двумерных многообразий не имеют особенностей ^класса E2. Возникает вопрос: как устроено множество Е* (J) для отображения /: Mm Nn общего положения? В частности, какова^его|размер-ность и когда оно непусто? Для формулировки ответа нам потребуется
Определение. Пусть A: Rm R" — линейный оператор ранга г. Корангами оператора А в прообразе и в образе соответственно называются разности т—г и п—г.
Замечание. Коранги связаны с размерностью ядра і очевидными формулами: т—г—i, п—r—n—m-\-i.
Теорема («формула произведения корангов»). Для отображений /: Mm —> Nn общего положения *) все множества Е* (/) — гладкие подмногообразия в пространстве-прообразе. Коразмерность многообразия Ei (/) равна при этом произведению корангов:
dimM — dim E*' (f) = (m — r)(n — г) (отрицательность размерности означает пустоту множества).
*) Множество отображений, не удовлетворяющих заключению этой теоремы, — не более чем счетное объединение замкнутых нигде не плотных множеств в пространстве гладких отображений; если же M компактно, то множество отображений «общего положения», о котором идет речь, открытое и всюду плотное. 24
